Sayılarıyla ilgil s((An c)IB) = s(AUB)C) =7 s(C An B) = s(CnAUB) =9 eşitlikleri veriliyor

Question Answer
1

Z024NOc
41.
45.
Bir
beli
yarı
cev
Bur
A)
Yukarıda Venn şemaları verilen A, B ve C kümelerinin eleman
sayılarıyla ilgil
s((An c)IB) = s(AUB)\C) =7
•
s(C An B) = s(CnAUB) =9
•
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre A U BUC kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
(919
46.
Bi
Sa
le

Bir beli yarı cev Bur sayılarıyla ilgil s((An c)IB) = s(AUB) ) =7 • s(C An B) =...
Bir beli yarı cev Bur sayılarıyla ilgil s((An c)IB) = s(AUB) ) =7 • s(C An B) =...1024×768 102 KB

2

Kümelerde Eleman Sayısı ve Venn Şeması Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Birleşim kümesinin ayrık iki küme cinsinden ifadesi:
    s(A \cup B \cup C) = s((A \cup B) \setminus C) + s(C)
  • Kümelerin ayrık bölgelere ayrılması (Venn Şeması Bölge Analizi)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Venn Şemasındaki Bölgelerin Belirlenmesi
Venn şeması dikkatle incelendiğinde; B ve C kümelerinin yalnızca A kümesinin sınırları içerisinde kesiştiği görülür. Yani A’nın dışında B ile C’nin ortak bir bölgesi yoktur:

s((B \cap C) \setminus A) = 0

C kümesini oluşturan ayrık alt bölgeleri isimlendirelim:

  • Yalnızca C’de bulunan elemanlar: s(C \setminus (A \cup B)) = c_0
  • A ve C’nin kesişiminde olup B’de olmayan elemanlar: s((A \cap C) \setminus B) = c_A
  • Üç kümenin ortak kesişimindeki elemanlar: s(A \cap B \cap C) = c_{AB}
  • B ve C’nin A dışındaki kesişimi: s((B \cap C) \setminus A) = c_B = 0

Adım 2 — Verilen Eşitliklerin İncelenmesi
Soruda verilen birinci eşitlikten:

s((A \cap C) \setminus B) = c_A = 7
s((A \cup B) \setminus C) = 7

Soruda verilen ikinci eşitlikten:

s(C \cap (A \cup B)) = c_A + c_{AB} + c_B = 9

c_A = 7 ve c_B = 0 değerlerini yerine yazalım:

7 + c_{AB} + 0 = 9 \implies c_{AB} = 2

İkinci eşitliğin diğer kısmını inceleyelim:

s(C \setminus (A \cap B)) = c_0 + c_A + c_B = 9
c_0 + 7 + 0 = 9 \implies c_0 = 2

Adım 3 — C Kümesinin Toplam Eleman Sayısının Hesaplanması
C kümesinin tüm ayrık bölgelerini toplayarak s(C) değerini bulalım:

s(C) = c_0 + c_A + c_{AB} + c_B
s(C) = 2 + 7 + 2 + 0 = 11

Adım 4 — s(A \cup B \cup C) Değerinin Hesaplanması
A \cup B \cup C kümesi, C kümesi ile C’nin dışında kalan ((A \cup B) \setminus C) bölgesinin ayrık birleşimidir:

s(A \cup B \cup C) = s((A \cup B) \setminus C) + s(C)
s(A \cup B \cup C) = 7 + 11 = 18

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 18
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Ayrık Ayrışım Yöntemi: Bir birleşim kümesini, C ve C’nin tümleyeni içinde kalan parçalar olarak s(X \cup Y) = s(X \setminus Y) + s(Y) şeklinde yazmak, karmaşık kesişim işlemlerini tek hamlede çözdürür.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: B ve C kümelerinin A dışında da kesiştiğini varsayarak s((B \cap C) \setminus A) bölgesine değişken tanımlamak ve denklemi çözümsüz sanmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Şemada çizgilerin sınırlarını net kontrol etmek; mavi (C) ile turuncu (B) sınırlarının yalnızca siyah (A) elipsin içinde kesiştiğini tespit etmek.

Kümelerdeki bölge analizi mantığını pekiştirmek için benzer bir KPSS tarzı soru daha çözmek ister misiniz?