Sayılar konusu

YKS TYT
1

e. (-5)3
(9
h.
k. 14
m. (-1)7

Soru Görseli
Soru Görseli800×873 102 KB

2

Üslü Sayılarda Negatif Üs İşlemleri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:

  • Negatif Üs Kuralı: a^{-n} = \frac{1}{a^n}
  • Rasyonel Sayılarda Negatif Üs: \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}
  • Negatif Tabanın Kuvvetleri:
    • Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir: (-a)^{2n} > 0
    • Negatif bir sayının tek kuvveti negatiftir: (-a)^{2n+1} < 0

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — e maddesinin çözümü: (-5)^{-3}
Negatif üs kuralını uygulayarak tabanı paydaya alalım:

(-5)^{-3} = \frac{1}{(-5)^3} = \frac{1}{-125} = -\frac{1}{125}

Adım 2 — f maddesinin çözümü: \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}
Üs -1 olduğu için kesri ters çevirelim:

\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2}

Adım 3 — g maddesinin çözümü: \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}
Kesri ters çevirip üssü pozitif yapalım:

\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{1}\right)^3 = 3^3 = 27

Adım 4 — h maddesinin çözümü: \left(-\frac{2}{3}\right)^{-2}
Kesri ters çevirelim ve çift kuvvet olduğu için sonucun pozitif olacağını dikkate alalım:

\left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{(-3)^2}{2^2} = \frac{9}{4}

Adım 5 — ı maddesinin çözümü: \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}
Kesri ters çevirip karesini alalım:

\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}

Adım 6 — j maddesinin çözümü: \left(-\frac{4}{3}\right)^{-3}
Kesri ters çevirelim; üs tek sayı olduğu için işaret negatif kalır:

\left(-\frac{4}{3}\right)^{-3} = \left(-\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{(-3)^3}{4^3} = -\frac{27}{64}

Adım 7 — k maddesinin çözümü: 1^{-4}
1’in tüm reel kuvvetleri 1’e eşittir:

1^{-4} = \frac{1}{1^4} = \frac{1}{1} = 1

Adım 8 — l maddesinin çözümü: (-1)^{-6}
Üs çift sayı olduğu için negatif taban pozitife dönüşür:

(-1)^{-6} = \frac{1}{(-1)^6} = \frac{1}{1} = 1

Adım 9 — m maddesinin çözümü: (-1)^{-7}
Üs tek sayı olduğu için negatif taban negatif kalır:

(-1)^{-7} = \frac{1}{(-1)^7} = \frac{1}{-1} = -1

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAPLAR:

  • e. -\frac{1}{125}
  • f. \frac{3}{2}
  • g. 27
  • h. \frac{9}{4}
  • ı. \frac{9}{4}
  • j. -\frac{27}{64}
  • k. 1
  • l. 1
  • m. -1
    ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Negatif Üs Anlamı

  • Tanım: Negatif üs, bir sayının işaretini negatif yapmaz; sayının çarpmaya göre tersini (ters çevrilmesini) ifade eder.
  • Bu problemde: Örneğin \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} ifadesinde eksi işareti yalnızca kesri \frac{3}{2} olarak ters çevirmiştir.

2. Parantez ve Kuvvet İlişkisi

  • Tanım: Parantez içindeki negatif bir sayının üssü çift ise sonuç pozitif, tek ise sonuç negatif çıkar.
  • Bu problemde: (-1)^{-6} = 1 olurken (-1)^{-7} = -1 sonucunu vermiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Negatif üssü sayının önüne eksi koymakla karıştırmak

  • Yanlış: 1^{-4} = -4 veya (-5)^{-3} = 15
  • Doğru: 1^{-4} = 1 ve (-5)^{-3} = -\frac{1}{125}
  • Neden yanlış: Üsteki eksi işareti çarpımsal ters alma işlemidir, sayının önüne gelen çıkarma/işaret eksisi değildir.

Üslü sayılarda negatif üs veya parantez kuvvetleriyle ilgili benzer alıştırma soruları hazırlamamı ister misin?

3

Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla

4

Üslü Sayılarda Negatif Üs Mantığı ve Adım Adım Açıklaması

:light_bulb: TEMEL KURALLAR:

  1. Üsteki Eksi (-) İşaretinin Görevi: Üsteki eksi işareti sayıyı negatif yapmaz; sayıyı ters çevirir (pay ile paydanın yerini değiştirir).
    • Tam sayılarda: a^{-n} = \frac{1}{a^n}
    • Kesirli sayılarda: \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n
  2. Tabandaki Eksi (-) İşaretinin Durumu: Taban negatifse sonuca üssün tek veya çift olması karar verir.
    • Çift kuvvet \rightarrow Sonuç pozitif (+)
    • Tek kuvvet \rightarrow Sonuç negatif (-)

:brain: HER MADDENİN ADIM ADIM DETAYLI AÇIKLAMASI:

Adım 1 — e Maddesi: (-5)^{-3}

  • 1. Aşama (Ters Çevirme): Üsteki eksi işareti tabanı paydaya gönderir: \frac{1}{(-5)^3}
  • 2. Aşama (Kuvvet Alma): (-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = -125
  • 3. Aşama (Sonuç): \frac{1}{-125} = -\frac{1}{125}

Adım 2 — f Maddesi: \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}

  • 1. Aşama (Ters Çevirme): Üsteki -1, kesri doğrudan tepe taklak eder.
  • 2. Aşama (Sonuç): Pay ile payda yer değiştirir: \frac{3}{2}

Adım 3 — g Maddesi: \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}

  • 1. Aşama (Ters Çevirme): Üsteki eksi nedeniyle \frac{1}{3} kesri ters döner ve \frac{3}{1} = 3 olur.
  • 2. Aşama (Kuvvet Alma): Üs +3’e dönüşür: 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27

Adım 4 — h Maddesi: \left(-\frac{2}{3}\right)^{-2}

  • 1. Aşama (Ters Çevirme): Üsteki eksi kesri ters çevirir: \left(-\frac{3}{2}\right)^2
  • 2. Aşama (İşaret ve Kuvvet): Üs çift (2) olduğu için eksi artıya dönüşür: \frac{(-3)^2}{2^2} = \frac{9}{4}

Adım 5 — ı Maddesi: \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}

  • 1. Aşama (Ters Çevirme): Üsteki eksi kesri ters çevirir: \left(\frac{3}{2}\right)^2
  • 2. Aşama (Kuvvet Alma): Hem payın hem paydanın karesi alınır: \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}

Adım 6 — j Maddesi: \left(-\frac{4}{3}\right)^{-3}

  • 1. Aşama (Ters Çevirme): Üsteki eksi kesri ters çevirir: \left(-\frac{3}{4}\right)^3
  • 2. Aşama (İşaret ve Kuvvet): Üs tek (3) olduğu için sonuç negatif kalır: -\frac{3^3}{4^3} = -\frac{27}{64}

Adım 7 — k Maddesi: 1^{-4}

  • 1. Aşama (Ters Çevirme): 1^{-4} = \frac{1}{1^4}
  • 2. Aşama (Sonuç): 1’in bütün kuvvetleri 1’dir: \frac{1}{1} = 1

Adım 8 — l Maddesi: (-1)^{-6}

  • 1. Aşama (Ters Çevirme): \frac{1}{(-1)^6}
  • 2. Aşama (İşaret Belirleme): 6 çift sayı olduğu için (-1)^6 = +1 olur.
  • 3. Aşama (Sonuç): \frac{1}{1} = 1

Adım 9 — m Maddesi: (-1)^{-7}

  • 1. Aşama (Ters Çevirme): \frac{1}{(-1)^7}
  • 2. Aşama (İşaret Belirleme): 7 tek sayı olduğu için (-1)^7 = -1 olur.
  • 3. Aşama (Sonuç): \frac{1}{-1} = -1

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: ÖZET TABLO:

Madde İfade 1. Ters Çevrilmiş Hali 2. İşlem Sonucu
e (-5)^{-3} \frac{1}{(-5)^3} -\frac{1}{125}
f \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \left(\frac{3}{2}\right)^1 \frac{3}{2}
g \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} 3^3 27
h \left(-\frac{2}{3}\right)^{-2} \left(-\frac{3}{2}\right)^2 \frac{9}{4}
ı \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \left(\frac{3}{2}\right)^2 \frac{9}{4}
j \left(-\frac{4}{3}\right)^{-3} \left(-\frac{3}{4}\right)^3 -\frac{27}{64}
k 1^{-4} \frac{1}{1^4} 1
l (-1)^{-6} \frac{1}{(-1)^6} 1
m (-1)^{-7} \frac{1}{(-1)^7} -1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: AKILDA TUTULMASI GEREKEN PÜF NOKTASI:

  • Üsteki Eksi: “Beni takla attır!” der.
  • Tabandaki Eksi: “Üssüm çift mi tek mi bak!” der.

Bu kuralları test etmek için sana özel 2 tane pratik alıştırma sorusu hazırlamamı ister misin?