Sayı Problemleri
Findik toplamaya giden bir grup çocuğun her biri eşit sayıda
findik topluyor. Dönüş sirasinda çocukların her biri diğer arka-
daşlarina birer findık atiyor. Çocuklar ellerinde kalan findıkları
saydiklarıinda toplam 91 tane olduğunu görüyorlar.
Buna göre, gruptaki çocuk sayısı kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Fındık Toplama ve Dağıtma Sayı Problemi Çözümü
KULLANILAN FORMÜL:
- Toplam çocuk sayısı: n
- Bir çocuğun başlangıçta topladığı fındık sayısı: k
- Toplam başlangıç fındık sayısı: n \times k
- Her bir çocuğun diğer arkadaşlarına attığı (elinden çıkan) fındık sayısı: n - 1
- Tüm çocukların elinden çıkan toplam fındık sayısı: n \times (n - 1)
- Çocukların ellerinde kalan toplam fındık sayısı:\text{Kalan Fındık Sayısı} = n \cdot k - n(n - 1) = n \cdot [k - (n - 1)]
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenlerin Tanımlanması
- Gruptaki çocuk sayısı n olsun.
- Her bir çocuğun topladığı fındık sayısı k olsun.
- Başlangıçta toplanan toplam fındık miktarı n \cdot k tanedir.
Adım 2 — Atılan Fındık Sayısının Hesaplanması
- Her çocuk kendisi hariç gruptaki diğer (n - 1) arkadaşına birer fındık atmıştır.
- Dolayısıyla her bir çocuğun elinden n - 1 adet fındık eksilmiştir.
- Gruptaki n çocuğun elinden çıkan toplam fındık sayısı n \cdot (n - 1) olur.
Adım 3 — Kalan Fındık Sayısı Denkleminin Kurulması
- Çocukların ellerinde kalan fındık sayısı:n \cdot k - n(n - 1) = 91
- İfadeyi n ortak parantezine alalım:n \cdot [k - (n - 1)] = 91
Adım 4 — Çarpan Analizi ve Çocuk Sayısının Bulunması
- n ve k pozitif tam sayılar olduğundan, n sayısı 91’in bir tam böleni (çarpanı) olmalıdır.
- 91 sayısının pozitif tam sayı bölenleri: 1, 7, 13, 91’dir.
- Verilen seçenekler (6, 7, 8, 9, 10) incelendiğinde, 91’i tam bölen tek değer n = 7’dir.
Adım 5 — Sağlama ve Doğrulama
- n = 7 için:7 \cdot [k - 6] = 91 \implies k - 6 = 13 \implies k = 19
- Başlangıçta her çocuk 19 fındık toplamıştır.
- Her çocuk 6 arkadaşına birer fındık atınca elinde 19 - 6 = 13 fındık kalır.
- 7 çocuğun elinde toplam 7 \times 13 = 91 fındık kalır ve problem doğrulanır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tokalaşma / Hediyeleşme Mantığı
- Tanım: n kişilik bir grupta herkesin diğer herkese bir nesne vermesi durumunda toplam işlem sayısı n(n - 1) olur.
- Bu problemde: Her çocuk kendisi dışındaki (n-1) kişiye fındık attığı için her birinin elinden (n-1) fındık çıkmıştır.
2. Asal Çarpanlara Ayırma ve Bölünebilirlik
- Tanım: Bir çarpım eşitliğinde tam sayı çözümlere ulaşmak için sonucun bölenleri incelenir.
- Bu problemde: 91 = 7 \times 13 olduğundan çocuk sayısı seçenekler arasında sadece 7 olabilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tokalaşma Formülü ile Karıştırmak
- Yanlış: Toplam atılan fındık sayısını \frac{n(n-1)}{2} olarak almak.
- Doğru: Her çocuk ayrı ayrı fındık attığı için toplam eksilen fındık n(n-1)'dir.
- Neden yanlış: \frac{n(n-1)}{2} formülü iki kişi arasındaki karşılıklı tek bir eşleşme (tokalaşma) için geçerlidir; burada herkes bağımsız olarak diğerlerine fındık vermektedir.
Bu çözüm mantığını pekiştirmek için benzer bir sayı problemi çözmemi ister misin?