SAYI PROBLEMLERİ 26. Bir hamal tek seterde en fazl

Maths Question
1

SAYI PROBLEMLERİ 26. Bir hamal tek seterde en fazla 60 kg yük taşımakta ve her sefer için 15 TL Ucret almaktadır. Kamyonet ise bir seferde en faza 280 kg yük taşımakta ve her sefer için 70 TL ÜCret alnaktadır. Buna göre, 1520 kg yük en az kaç TL ye taşıtılabilir? B) 380 A) 360 C) 400 D) 420 E) 450 29 nktor arkadaslarınin sayısI

!Resim [Link Silindi]

2

:pushpin: SORU:
Bir hamal tek seferde en fazla 60 kg yük taşıyor ve her sefer için 15 TL ücret alıyor. Kamyonet ise bir seferde en fazla 280 kg yük taşıyor ve her sefer için 70 TL ücret alıyor. Toplam 1520 kg yük en az kaç TL’ye taşınabilir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Hamalın taşıyabileceği maksimum yük ve sefer başı ücretine göre toplam ücret hesaplanır.
  • Kamyonetin taşıyabileceği maksimum yük ve sefer başı ücretine göre toplam ücret hesaplanır.
  • Verilen yük en az maliyetle taşınmak isteniyor, bu yüzden farklı sefer sayıları denenerek toplam ücret minimuma indirilir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Değişkenleri Tanımla
Hamalın sefer sayısı x olsun, kamyonetin sefer sayısı y olsun.

Adım 2 — Yük Eşitliği Kur
Toplam taşınan yük 1520 kg olduğu için:

60x + 280y \geq 1520

Adım 3 — Ücret Fonksiyonu Kur
Toplam ücret:

15x + 70y

Adım 4 — Sefer Sayılarını Deneyerek Minimum Ücreti Bul

  • y=0 ise:
60x \geq 1520 \Rightarrow x \geq \frac{1520}{60} \approx 25.33 \Rightarrow x = 26

Ücret:

15 \times 26 = 390 \, \text{TL}
  • y=1 ise:
60x + 280 \times 1 \geq 1520 \Rightarrow 60x \geq 1240 \Rightarrow x \geq \frac{1240}{60} \approx 20.67 \Rightarrow x=21

Ücret:

15 \times 21 + 70 \times 1 = 315 + 70 = 385 \, \text{TL}
  • y=2 ise:
60x + 560 \geq 1520 \Rightarrow 60x \geq 960 \Rightarrow x \geq \frac{960}{60} = 16

Ücret:

15 \times 16 + 70 \times 2 = 240 + 140 = 380 \, \text{TL}
  • y=3 ise:
60x + 840 \geq 1520 \Rightarrow 60x \geq 680 \Rightarrow x \geq \frac{680}{60} \approx 11.34 \Rightarrow x=12

Ücret:

15 \times 12 + 70 \times 3 = 180 + 210 = 390 \, \text{TL}
  • y=4 ise:
60x + 1120 \geq 1520 \Rightarrow 60x \geq 400 \Rightarrow x \geq \frac{400}{60} \approx 6.67 \Rightarrow x=7

Ücret:

15 \times 7 + 70 \times 4 = 105 + 280 = 385 \, \text{TL}
  • y=5 ise:
60x + 1400 \geq 1520 \Rightarrow 60x \geq 120 \Rightarrow x \geq \frac{120}{60} = 2

Ücret:

15 \times 2 + 70 \times 5 = 30 + 350 = 380 \, \text{TL}
  • y=6 ise:
60x + 1680 \geq 1520

Burada 1680 zaten 1520’den büyük, yani x=0 olabilir.
Ücret:

15 \times 0 + 70 \times 6 = 0 + 420 = 420 \, \text{TL}

Adım 5 — Minimum Ücreti Bul
Yukarıda bulunan ücretler arasında en düşük ücret 380 TL’dir (yani seçenek B).

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 380 TL
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Matematiksel modelleme: Problemi değişkenler ile ifade edip eşitsizlikler kurmak.
  2. Doğrusal optimizasyon: Verilen kısıtlamalar içinde en az toplam maliyeti bulmak.
  3. Deneme-yanılma yöntemi: Sefer sayıları için farklı değerler deneyerek minimumu bulmak.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: Bir hamal tek seferde en fazla 60 kg yük taşımakta ve her sefer için 15 TL ücret almaktadır. Kamyonet ise bir seferde en fazla 280 kg yük taşımakta ve her sefer için 70 TL ücret almaktadır. Buna göre, 1520 kg yük en az kaç TL’ye taşıtılabilir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Amaç fonksiyonu (toplam maliyet): C = 15x + 70y
  • Kısıt (taşınan toplam ağırlık): 60x + 280y \ge 1520
  • x,y birer tam sayı ve x,y\ge 0

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Değişkenleri Tanımla
Tanım: x = hamalın sefer sayısı, y = kamyonetin sefer sayısı.

Adım 2 — Amaç ve Kısıtı Yaz
Amaç: C = 15x + 70y
Kısıt: 60x + 280y \ge 1520

Adım 3 — Ortak bölenle sadeleştir
Her terimi 20’ye böl: 3x + 14y \ge 76

Adım 4 — En az taşınan toplam ağırlığı bul (eşitlik aranır)
Hamalin ve kamyonetin kg başına maliyetleri eşittir: \dfrac{15}{60}=0{,}25 TL/kg ve \dfrac{70}{280}=0{,}25 TL/kg. Bu durumda toplam maliyeti en aza indirmek için taşınan toplam kg’yı en küçük mümkün değer yapmalıyız. Yani 3x+14y=76 olan en küçük çözüme bakarız.
Denklemden 3x = 76 - 14y ve x = \dfrac{76-14y}{3}. Sağlıklı tamsayı çözüm için y\equiv 2 \pmod{3}. En küçük uygun y değeri y=2 alınır.
Böylece x = \dfrac{76-14\cdot 2}{3} = \dfrac{76-28}{3} = \dfrac{48}{3} = 16.

Adım 5 — Maliyeti hesapla
Toplam maliyet: C = 15\cdot 16 + 70\cdot 2 = 240 + 140 = 380 TL

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Birim maliyet
  • Tanım: Birim başına (kg) düşen maliyet.
  • Bu problemde: Her iki taşıyıcı için birim maliyet eşit olduğu için toplam kg’ı minimize etmek maliyeti minimize eder.
  1. Tamsayı kısıtı (integer constraint)
  • Tanım: Sefer sayıları tam sayı olmak zorundadır.
  • Bu problemde: Sefer sayıları tam sayı olduğundan kapasite kombinasyonları kontrol edilmelidir.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Hamaliyı hep tercih etme hatası

  • Yanlış: Hamalı (daha küçük kapasiteli olanı) hep seçip daha fazla sefer yapmak.
  • Doğru: Birim maliyeti karşılaştırılmalı; burada birim maliyetler eşit olduğu için toplam taşınan kg en küçük olmalı.
  • Neden yanlış: Sadece sefer başı maliyete bakmak yanıltır.
  • Düzeltme: Birim maliyeti hesaplayıp tamsayı kısıtına göre kombinasyonları kontrol et.

:white_check_mark: CEVAP: 380 TL

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: