deneme yanılma değil de nasıl çözeceğiz
a^2 - a + 11 İfadesinin Asal Olmadığı Değerin Bulunması
KULLANILAN KURAL / MANTIK:
f(a) = a^2 - a + p biçimindeki ifadelerde a = p veya a = p + 1 yazıldığında oluşan sayı p parantezine alınabilir ve p’nin bir katı (p^2 vb.) olacağı için kesinlikle asal olamaz.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadeyi Çarpanlarına Ayırma Mantığıyla İnceleme
Verilen ifadeyi ortak parantez oluşturabilecek şekilde düzenleyelim:
a^2 - a + 11 = a(a - 1) + 11
Adım 2 — Asal Sayı Tanımını ve Bölünebilme Kuralını Uygulama
Bir sayının asal olmaması için 1 ve kendisi dışında en az bir pozitif böleninin bulunması gerekir.
İfadedeki sabit terim +11 olduğundan, ifadenin tamamının 11’in katı olabilmesi için a(a-1) çarpımının 11’e tam bölünmesi yeterlidir:
- a = 11 seçilirse, ilk terim 11’in katı olur.
- İfade: 11(11 - 1) + 11 = 11 \cdot 10 + 11 = 11 \cdot (10 + 1) = 11 \cdot 11 = 11^2 haline gelir.
Adım 3 — Değerin Hesaplanması ve Doğrulanması
a = 11 için ifadenin değerini hesaplayalım:
11^2 - 11 + 11 = 121 - 11 + 11 = 121
121 = 11 \times 11 olduğundan, 121 sayısı bir asal sayı değil, bileşik sayıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (11)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Euler Benzeri Asal Üreten Polinomlar
- Tanım: n^2 - n + p tipindeki ifadeler birçok n değeri için asal sayı üretse de n = p veya n = p + 1 durumunda daima p’ye tam bölünür.
- Bu problemde: a = 11 seçildiğinde 11^2 - 11 + 11 = 11^2 = 121 elde edilir ve ifade 11’in karesi olduğu için asallık bozulur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tüm Şıkları Tek Tek Denemek
- Yanlış: 6, 7, 9, 10 sayılarını yerine koyup çıkan büyük sayıların (41, 53, 83, 101) asal olup olmadığını test etmeye çalışarak vakit kaybetmek.
- Doğru: Sabit terim olan +11’i görüp doğrudan a = 11 yazıldığında a(a-1)+11 ifadesinin 11 parantezine alınabileceğini fark etmek.
- Neden yanlış: Tek tek denemek sınavda ciddi zaman kaybına yol açar ve büyük sayıların asallığını kontrol etmek zordur.
Benzer mantıkla hazırlanan farklı bir asal sayı polinomu sorusu çözerek pekiştirmek ister misin?