(5+ 10+ 15 +1.. + 70
sayı dizisinin toplamı kaçtır?
A) 525
B) 550
C) 575
D) 625
E) 650
5 + 10 + 15 + \dots + 70 Sayı Dizisinin Toplamı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir aritmetik dizinin toplamı iki temel formül yardımıyla bulunur:
- Terim Sayısı (TS):
\text{Terim Sayısı} = \frac{\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}}{\text{Artış Miktarı}} + 1
- Dizi Toplamı:
\text{Toplam} = \text{Terim Sayısı} \times \left( \frac{\text{Son Terim} + \text{İlk Terim}}{2} \right)
Alternatif olarak, ortak çarpan parantezine alma yöntemi:
5 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + n) = 5 \cdot \frac{n \cdot (n + 1)}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dizinin Terim Sayısını Bulma
- İlk Terim = 5
- Son Terim = 70
- Artış Miktarı = 5
\text{Terim Sayısı} = \frac{70 - 5}{5} + 1 = \frac{65}{5} + 1 = 13 + 1 = 14
Adım 2 — Ortalama Değeri (Orta Terimi) Bulma
\text{Ortalama Terim} = \frac{70 + 5}{2} = \frac{75}{2}
Adım 3 — Toplamı Hesaplama
\text{Toplam} = \text{Terim Sayısı} \times \text{Ortalama Terim}
\text{Toplam} = 14 \times \frac{75}{2} = 7 \times 75 = 525
(Alternatif Kısa Yol: İfadeyi 5 parantezine alırsak; 5 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 14) = 5 \cdot \frac{14 \cdot 15}{2} = 5 \cdot 105 = 525)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 525
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Aritmetik Dizi Toplamı (Gauss Yöntemi)
- Tanım: Ardışık terimleri arasındaki farkı sabit olan sayı dizilerinin toplamını bulma yöntemidir.
- Bu problemde: Terimler beşer beşer artmaktadır ve terim sayısı ile ortalama değerin çarpımı doğrudan toplamı vermiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Terim Sayısı Formülündeki “+1” İfadesini Unutmak
- Yanlış: \frac{70 - 5}{5} = 13 terim vardır demek.
- Doğru: \frac{70 - 5}{5} + 1 = 14 terim vardır.
- Neden Yanlış: Başlangıç terimi dahil edildiği için fark bölündükten sonra mutlaka 1 eklenmelidir.
Bu tip ardışık sayı dizisi toplamlarıyla ilgili pratik yapabilmeniz için benzer bir soru daha çözmemi ister misiniz?