bi(btu) -|bub-Joo
9. Ali 1’den itibaren beşer artirarak
1, 6, 11,1.., 106
sayı dizisini oluşturuyor.
b:2 (b-8)
Oğuz ise 1’den itibaren dörder artirarak
1, 5,9, 1 11,A
Oğuz, A’dan sonra artış miktarını 7 yaparak 106 sayısina
ulaşıyor.
Son durumda Ali ve Oğuz’un oluşturdukları sayı
dizilerinin terim sayıları eşit olduğuna göre, A değeri
kaçtır?
A) 57
B) 61
c) 64
D) 71
E) 73
Ali ve Oğuz’un Sayı Dizilerindeki Terim Sayısının Belirlenmesi
KULLANILAN FORMÜL:
Bir aritmetik dizide terim sayısı (n); son terim (a_n), ilk terim (a_1) ve ortak fark (d) bilindiğinde aşağıdaki formülle bulunur:
n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Ali’nin sayı dizisinin terim sayısını hesaplayalım.
Ali’nin dizisi 1, 6, 11, \ldots, 106 şeklindedir.
İlk terim (a_1) = 1
Son terim (a_n) = 106
Ortak fark (d) = 6 - 1 = 5
Terim sayısı (n_{Ali}) formülü kullanarak:
n_{Ali} = \frac{106 - 1}{5} + 1
n_{Ali} = \frac{105}{5} + 1
n_{Ali} = 21 + 1
n_{Ali} = 22
Ali’nin dizisinde 22 terim vardır.
Adım 2 — Oğuz’un birinci sayı dizisinin terim sayısını (k) A cinsinden bulalım.
Oğuz’un birinci dizisi 1, 5, 9, \ldots, A şeklindedir.
İlk terim (a_1) = 1
Son terim (a_n) = A
Ortak fark (d) = 5 - 1 = 4
Bu dizideki terim sayısı (k) formülü kullanarak:
k = \frac{A - 1}{4} + 1
Adım 3 — Oğuz’un ikinci sayı dizisinin terim sayısını hesaplayalım.
Oğuz, A’dan sonra artış miktarını 7 yaparak 106 sayısına ulaşıyor. Yani ikinci dizinin ilk terimi A+7 ve son terimi 106 olmalıdır. Ancak “Oğuz, A’dan sonra artış miktarını 7 yaparak 106 sayısına ulaşıyor” ifadesi, A’nın kendisi de bu dizide olabilir veya A’dan sonraki ilk terim A+7 olur. Problemin yapısı gereği A teriminden sonraki ilk terim A+7 olarak alınmalıdır.
Bu durumda ikinci dizinin ilk terimi (a_1) bir önceki dizinin son terimi A’dan sonraki ilk terimdir.
Dolayısıyla, ilk terim (a_1) bu kısımda A+7 olacaktır.
Son terim (a_n) = 106
Ortak fark (d) = 7
Bu dizideki terim sayısı (m) formülü kullanarak:
m = \frac{106 - (A+7)}{7} + 1
m = \frac{106 - A - 7}{7} + 1
m = \frac{99 - A}{7} + 1
Adım 4 — Oğuz’un toplam terim sayısını Ali’ninki ile eşitleyelim.
Oğuz’un oluşturduğu sayı dizisinin toplam terim sayısı k + m olacaktır. Bu, Ali’nin dizisindeki terim sayısına eşit olmalıdır.
n_{Oğuz} = k + m = 22
\left(\frac{A - 1}{4} + 1\right) + \left(\frac{99 - A}{7} + 1\right) = 22
\frac{A - 1}{4} + \frac{99 - A}{7} + 2 = 22
\frac{A - 1}{4} + \frac{99 - A}{7} = 20
Paydaları eşitlemek için ifadeyi genişletelim (ortak payda 28):
7(A - 1) + 4(99 - A) = 20 \times 28
7A - 7 + 396 - 4A = 560
3A + 389 = 560
3A = 560 - 389
3A = 171
A = \frac{171}{3}
A = 57
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 57
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Aritmetik Dizi
- Tanım: Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu sayı dizisidir. Bu sabit farka ortak fark denir.
- Bu problemde: Ali ve Oğuz’un oluşturduğu diziler, belirli bir artış miktarına (ortak fark) sahip oldukları için aritmetik dizilerdir.
2. Terim Sayısı Formülü
- Tanım: Bir aritmetik dizinin kaç terimden oluştuğunu bulmak için kullanılan standart formüldür: n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1.
- Bu problemde: Hem Ali’nin dizisinin terim sayısını hem de Oğuz’un iki aşamalı dizisinin terim sayılarını bulmak için bu formül kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
İkinci Dizinin İlk Terimi
- Yanlış: Oğuz’un A’dan sonraki dizisinin ilk terimini doğrudan A olarak almak.
- Doğru: “A’dan sonra artış miktarını 7 yaparak” ifadesi, A’nın kendisinin ilk diziye dahil olduğunu ve ikinci dizinin ilk teriminin A+7 olacağını gösterir. Aksi takdirde, A terimi iki dizide birden sayılmış olurdu.
- Neden yanlış: Bu, terim sayılarının yanlış hesaplanmasına ve dolayısıyla A değerinin hatalı bulunmasına yol açar.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir uygulama problemi çözmemi ister misin?