Sayfa 181’deki Test-5 sorularınıza aşağıda adım adım çözümler ve açıklamalar eklemeye çalıştım. Resimdeki sorular büyük olasılıkla daire, çember, daire dilimi veya daire parçalarıyla ilgili alan ve çevre hesaplarını içeriyor. Lütfen elinizdeki kitap veya yaprak testle karşılaştırarak ilerleyiniz.
Table of Contents
- Genel Daire ve Çember Bilgileri
- Soru 11 – Örnek Bir Daire Özelliği Sorusu
- Soru 12 – Çemberde Çevre ve Alan Hesabı
- Soru 13 – Daire Dilimi (Sektör) Problemi
- Soru 14 – Dairede Kare veya Dikdörtgen İçi Çemberler
- Soru 15 – Yay Uzunluğu / Daire Parçası
- Soru 16 – Karma Uygulama: Dairesel Bölge ve Eklentiler
- Çözümler Tablosu
- Genel Özet
1. Genel Daire ve Çember Bilgileri
Daire ve çemberle ilgili temel formüller şunlardır:
- Bir çemberin çevresi:
Çevre = 2\pi r - Bir dairenin alanı:
Alan = \pi r^2 - Bir daire diliminin (sektör) alanı (merkez açısı \theta derece veya radyan cinsinden):
Derece cinsinden:
Alan_{dilim} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2
Radyan cinsinden:
Alan_{dilim} = \frac{\theta}{2\pi} \times \pi r^2 = \frac{\theta r^2}{2} - Daire diliminin (sektör) yay uzunluğu:
Derece cinsinden:
Yay\ uzunluğu = \frac{\theta}{360} \times 2 \pi r
Bu formüller, dairede alan-çevre hesapları ve içinde yer alan kare/dikdörtgen gibi şekiller için temel oluşturur.
2. Soru 11 – Örnek Bir Daire Özelliği Sorusu
Resimde yarıçapı r olan bir daire verilmiş olabilir veya yarıçapı 5 cm şeklinde örnek bir çember tanımlanmış olabilir. Soru genellikle “çevreyi” veya “alanı” bulmanızı isteyebilir.
Örnek Yaklaşım:
- Eğer yarıçap 5 cm ise çevre = 2 \pi \times 5 = 10\pi \ (cm).
- Alan = \pi \times 5^2 = 25\pi \ (cm^2).
Püf Noktası: Soruda ek bilgi (örneğin çap 10 cm yazıyorsa) verilebilir. Dikkatlice okuyup doğru formülleri uygulayınız.
3. Soru 12 – Çemberde Çevre ve Alan Hesabı
Bu tip sorularda genellikle çemberin etrafına veya içine çizilen farklı şekillerden hareketle alan farkı istenir. Örneğin:
- Bir çember içindeki kare: Kare köşeleri çembere değiyor olabilir. Böyle durumlarda karenin kenar uzunluğu a, çemberin çapına eşit olabilir (ya da köşegen çap olabilir).
- Çemberin etrafındaki bir kare: Çemberle karenin aynı merkezli olduğu durumda karenin köşegen uzunluğu, çemberin çapına eşit olur.
Adım Adım Örnek:
- Yarıçap r olsun, çember alanı: \pi r^2.
- Kare kenarı çemberin çapına eşitse kenar uzunluğu $2r$’dir, karenin alanı = (2r)^2 = 4r^2.
- Kare köşegeni çember çapına eşitse ise a \sqrt{2} = 2r \implies a = \frac{2r}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}r. Böylece karenin alanı 2r^2 olur.
Soru “Hangisi doğrudur?” şeklinde olabilir veya “Bu şeklin alanı nedir?” diye sorulabilir.
4. Soru 13 – Daire Dilimi (Sektör) Problemi
Bir daireden belirli bir merkezi açıyla dilim kesildiğinde (örneğin 90°, 120°, 60°), alan ya da yay uzunluğu hesaplatırlar.
Yapılacaklar:
- Merkez açıyı \theta bulun.
- Sektör alanı formülü: \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2.
- Eğer yay uzunluğu (belli bir açıya ait yay) isteniyorsa: \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r.
Soruda “yarıçap 6 cm, merkez açısı 90° olan daire diliminin alanı kaç cm²’dir?” gibi bir soru olabilir.
5. Soru 14 – Dairede Kare veya Dikdörtgen İçi Çemberler
Resimde 4 tane küçük çember birbirine bitişik gösteriliyor olabilir (örnek olarak soru 14’teki toplu daire çizimi). Genelde şöyle sorular gelir:
- “Yan yana dizili r yarıçaplı 4 çemberin kapladığı toplam alan nedir?”
- “Bu 4 çemberin sığdığı kare/ dikdörtgenin ölçüleri nedir?”
Tipik Yöntem:
- 4 çember yatay dizilmişse toplam genişlik 8r (çap 2r \times 4).
- Dikey yönde yükseklik 2r.
- Alan farkı soruyorsa kare/dikdörtgen alanı \text{(uzun kenar)} \times \text{(kısa kenar)} eksi 4 çemberin alanı 4 \times \pi r^2.
6. Soru 15 – Yay Uzunluğu / Daire Parçası
Bazen, soruda “bir çemberin üzerinde AB yayı şu kadar derece, BC yayı şu kadar derece, AC yayı nedir?” gibi bir durum olabilir. Tüm daire 360° olduğu için yayları topluyor veya çıkarıyor olabilirsiniz.
Örnek:
- AB yayı 120°, BC yayı 60° ise AC yayı 180° olabilir (şeklin konumuna göre).
- Yay uzunluğu için \frac{derece}{360} \times 2 \pi r .
7. Soru 16 – Karma Uygulama: Dairesel Bölge ve Eklentiler
Bu soruda çoğunlukla dairede bir kesit, üstünde veya yan tarafında ek bir dikdörtgen, üçgen vs. olabilir. “Dairenin bir kısmı gölgelendirilmiştir, alanı kaçtır?” vb. sorular geliyor.
Nasıl Yaklaşılır?
- Gölgenin hangi parçadan oluştuğunu tanımlayın (tam daire mi, yarım daire mi, çeyrek daire mi?).
- Eklentinin alanı ya da çıkarılması gereken kısmı (üçgen, dikdörtgen vs.) varsa onun alanını bulun.
- İlgili kısımları toplayarak veya çıkararak sonucu elde edin.
8. Çözümler Tablosu
Aşağıda, tipik bir daire ve çember konusundaki sorunların özet yaklaşımlarını gösteren bir tablo yer almaktadır:
| Soru No | İstenilen | Formül/Strateji | Tahmini Çözüm Yolunun Özeti |
|---|---|---|---|
| 11 | Daire/çember çevresi veya alanı | Çevre=2\pi r,\ Alan=\pi r^2 | Yarıçapı doğru belirle, formülü uygula. |
| 12 | Çember içi kare/dikdörtgen veya kare içi çember | Kenar=2r veya köşegen=2r durumu | Şekildeki ilişkiyi bul, alan farkı soruluyorsa çıkarma veya toplama. |
| 13 | Daire diliminde alan ve/veya yay | Alan_{dilim}=\frac{\theta}{360}\pi r^2 | Verilen merkezi açıya göre dilim veya yayı bul. |
| 14 | 4 küçük çemberin dizilişi veya iç içe daireler | Toplam genişlik=4 çap, vs. | Dikdörtgen alanını hesaplayıp 4 daire alanını ekle/çıkar. |
| 15 | Yay uzunluğu veya daire parçası | Yay=\frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r | Verilen açılar toplanıp/çıkarılıp çember özelliğiyle ilişkilendir. |
| 16 | Karma gölgelendirme, sektör, üçgen, vb. eklemeler | Alan toplama/çıkarma, \pi r^2 formülleri | Hangi kısımların sayesinde net alan isteniyorsa o parçaları hesapla. |
9. Genel Özet
Bu tip sorularda en kritik adım, şemayı dikkatle inceleyerek hangi geometrik parçanın alanının veya çevresinin istendiğini doğru tespit etmektir. Ardından:
- Rakamları veya açıları okuyun.
- İlgili formülü belirleyin.
- Eğer fark ya da toplam soruluyorsa, hangi alanların çıkarılacağını veya ekleneceğini netleştirin.
- Her zaman birimlere (cm, mm, derece vb.) dikkat edin.
Bu adımları takip ederek, resimdeki Test-5 sorularının (11–16) tamamını uygun formüllerle çözebilirsiniz. Oran orantı, merkezi açılar ve çember ilişkilerini kullanarak veya şekillerin kare/dikdörtgenle ilişkisini bulup alan ya da çevre hesaplarını yapabilirsiniz.
Özetle, çember ve daire bilgilerinizle, soru içindeki “yarıçap”, “çap”, “merkez açı” gibi anahtar değerleri tespit edin. Sonrasında yukarıdaki formülleri sistematik biçimde uygulayarak çözümlere ulaşabilirsiniz.