Satır Yukarıda iki satır ve üç sütundan oluşan tabloya 2⁻¹ , 4⁻¹ , 8⁻¹ , 16⁻¹ , 32⁻¹ ve 64⁻¹ sayıları aşağıdaki

YKS TYT
1
  1. sütun 2. sütun 3. sütun
  2. satır
  3. satır
    Yukarıda iki satır ve üç sütundan oluşan tabloya 2^{-1}, 4^{-1}, 8^{-1}, 16^{-1}, 32^{-1} ve 64^{-1} sayıları aşağıdaki kurallara göre yerleştirilecektir.
  • Her sayı bir kez kullanılacaktır.
  • Sütunlardaki sayıların çarpımı birbirine eşit olacaktır.
    1. satırdaki sayıların çarpımı A, 2. satırdaki sayıların çarpımı B’dir.
      Buna göre \frac{A}{B} ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
      A) 2^9
      B) 2^6
      C) 2^3
      D) 2^{-3}
      E) 2^{-6}

satır Yukarıda iki satır ve üç sütundan oluşan tabloya 2⁻¹ , 4⁻¹ , 8⁻¹ , 16⁻¹ , 32⁻¹ ve...
satır Yukarıda iki satır ve üç sütundan oluşan tabloya 2⁻¹ , 4⁻¹ , 8⁻¹ , 16⁻¹ , 32⁻¹ ve...1024×768 114 KB

2

Tablodaki Sayıların Dağılımı ve \frac{A}{B} Oranının En Büyük Değeri

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Üslü ifadelerde tabanlar aynı iken çarpma işlemi yapıldığında üsler toplanır: a^x \cdot a^y = a^{x+y}
  • Üslü ifadelerde bölme işlemi yapıldığında payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}
  • \frac{A}{B} ifadesinin en büyük değeri alması için A değerinin en büyük, B değerinin ise en küçük olması gerekir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Sayıları 2’nin Kuvveti Olarak Yazma
Tabloya yerleştirilecek sayıları ortak taban olan 2 cinsinden düzenleyelim:

  • 2^{-1} = 2^{-1}
  • 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}
  • 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}
  • 16^{-1} = (2^4)^{-1} = 2^{-4}
  • 32^{-1} = (2^5)^{-1} = 2^{-5}
  • 64^{-1} = (2^6)^{-1} = 2^{-6}

Adım 2 — Her Bir Sütunun Çarpım Değerini Belirleme
Tüm sayıların çarpımını bulup 3 eşit sütuna paylaştıralım:

  • Tüm sayıların çarpımı: 2^{-1} \cdot 2^{-2} \cdot 2^{-3} \cdot 2^{-4} \cdot 2^{-5} \cdot 2^{-6} = 2^{(-1-2-3-4-5-6)} = 2^{-21}
  • 3 sütunun her birindeki çarpım birbirine eşit olduğuna göre bir sütunun çarpımı:
\sqrt[3]{2^{-21}} = 2^{\frac{-21}{3}} = 2^{-7}

Demek ki aynı sütundaki iki sayının üsleri toplamı -7 olmalıdır.

Adım 3 — Sütun Eşleşmelerini Oluşturma
Üsleri toplamı -7 olan ikilileri belirleyelim:

    1. Çift: 2^{-1} ve 2^{-6} \rightarrow (-1) + (-6) = -7
    1. Çift: 2^{-2} ve 2^{-5} \rightarrow (-2) + (-5) = -7
    1. Çift: 2^{-3} ve 2^{-4} \rightarrow (-3) + (-4) = -7

Adım 4 — \frac{A}{B} Oranını En Büyük Yapacak Yerleşimi Seçme
\frac{A}{B} oranının maksimum olması için 1. satırdaki sayıların çarpımı olan A’nın en büyük, 2. satırdaki sayıların çarpımı olan B’nin ise en küçük olması gerekir. Dolayısıyla her ikilideki büyük olan sayıyı 1. satıra, küçük olan sayıyı 2. satıra yazarız:

  • 1. Satır (A): 2^{-1}, 2^{-2}, 2^{-3}
    A = 2^{-1} \cdot 2^{-2} \cdot 2^{-3} = 2^{-1-2-3} = 2^{-6}
  • 2. Satır (B): 2^{-6}, 2^{-5}, 2^{-4}
    B = 2^{-6} \cdot 2^{-5} \cdot 2^{-4} = 2^{-6-5-4} = 2^{-15}

Adım 5 — Oranı Hesaplama

\frac{A}{B} = \frac{2^{-6}}{2^{-15}} = 2^{-6 - (-15)} = 2^{-6 + 15} = 2^9

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 2^9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Üslü Sayılarda Sıralama ve Bölme

  • Tanım: Negatif üslerde mutlak değerce küçük olan üs daha büyük bir sayıyı temsil eder (örneğin 2^{-1} > 2^{-6}).
  • Bu problemde: A’yı en büyük yapmak için üsleri mutlak değerce en küçük (yani değeri en büyük) olan 2^{-1}, 2^{-2}, 2^{-3} sayıları A satırına seçilmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Negatif Üslerde Büyüklük Yanılgısı

  • Yanlış: 2^{-6} sayısını 2^{-1} sayısından büyük sanıp A satırına 2^{-6}, 2^{-5}, 2^{-4} yazmak.
  • Doğru: -1 > -6 olduğu için 2^{-1} > 2^{-6}'dır.
  • Neden yanlış: Negatif sayılarda sıfıra yakın olan değer her zaman daha büyüktür.

Benzer mantıkla çözülen farklı bir üslü sayı yerleştirme sorusu hazırlamamı ister misin?