Santimetre türünden birer tam sayı olan kaç farklı çeşitkenar üçgen çizilebilir?

YKS TYT
1
  1. Cevresinin uzunluğu 13 cm ve kenar uzunlukları
    santimetre türünden birer tam sayı olan kaç farklı
    çeşitkenar üçgen çizilebilir?
    A) 1
    B 2
    C) 3
    D) 4
    E) 5

Cevresinin uzunluğu 13 cm ve kenar uzunlukları santimetre türünden birer tam sayı olan...
Cevresinin uzunluğu 13 cm ve kenar uzunlukları santimetre türünden birer tam sayı olan...1024×768 136 KB

2

Çevresi 13 cm Olan Çeşitkenar Üçgen Sayısı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

  1. Çevre Formülü: Bir üçgenin kenar uzunlukları a, b ve c olmak üzere;

    \text{Çevre} = a + b + c = 13\text{ cm}

  2. Üçgen Eşitsizliği: Kenar uzunlukları a \le b \le c olan bir geometrik şeklin üçgen belirtebilmesi için en uzun kenarın diğer iki kenarın toplamından küçük olması gerekir:

    a + b > c

  3. Çeşitkenar Üçgen Şartı: Bütün kenar uzunlukları birbirinden farklı tam sayılar olmalıdır:

    a < b < c \quad \text{ve} \quad a, b, c \in \mathbb{Z}^+

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — En Uzun Kenarın (c) Üst Sınırını Belirleme
Üçgen eşitsizliğine göre a + b > c olmalıdır.
Çevre eşitliğinden a + b = 13 - c yazılır ve eşitsizlikte yerine konur:

13 - c > c \implies 13 > 2c \implies c < 6{,}5

Kenar uzunlukları birer tam sayı olduğundan en uzun kenar en fazla c = 6\text{ cm} olabilir.

Adım 2 — c = 6\text{ cm} Durumunu İnceleme
c = 6\text{ cm} olduğunda diğer iki kenarın toplamı:

a + b = 13 - 6 = 7\text{ cm}

a < b < 6 şartını ve a + b = 7 eşitliğini sağlayan pozitif tam sayı ikilileri:

  • a = 2\text{ cm} ve b = 5\text{ cm} \implies (2, 5, 6) üçgeni (2 + 5 = 7 > 6, üçgen eşitsizliği sağlanır ve tüm kenarlar farklıdır).
  • a = 3\text{ cm} ve b = 4\text{ cm} \implies (3, 4, 6) üçgeni (3 + 4 = 7 > 6, üçgen eşitsizliği sağlanır ve tüm kenarlar farklıdır).

(Not: a = 1 için b = 6 olur ancak b < c kuralı bozulur ve ikizkenar olur.)

Adım 3 — c = 5\text{ cm} ve Daha Küçük Değerleri İnceleme
c = 5\text{ cm} olduğunda:

a + b = 13 - 5 = 8\text{ cm}

a < b < 5 şartını sağlayan iki pozitif tam sayının toplamı en fazla 3 + 4 = 7\text{ cm} olabilir. Toplam 8\text{ cm} olamayacağı için bu durumda çeşitkenar üçgen çizilemez.
c \le 4\text{ cm} durumunda ise en büyük üç farklı tam sayının toplamı 2 + 3 + 4 = 9 < 13\text{ cm} olacağından çevre 13\text{ cm} olamaz.

Adım 4 — Uygun Üçgenlerin Sayımı
Şartları sağlayan üçgenler:

  1. 2\text{ cm} - 5\text{ cm} - 6\text{ cm}
  2. 3\text{ cm} - 4\text{ cm} - 6\text{ cm}

Toplamda 2 farklı çeşitkenar üçgen çizilebilir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Çeşitkenar Üçgen

  • Tanım: Üç kenar uzunluğu da birbirinden farklı olan üçgendir.
  • Bu problemde: İkizkenar durumları (örneğin 1-6-6 veya 4-4-5) eleyerek yalnızca kenarları tamamen farklı olan (2, 5, 6) ve (3, 4, 6) üçgenleri seçilmiştir.

2. Üçgen Eşitsizliği

  • Tanım: Bir üçgende herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır.
  • Bu problemde: a + b + c = 13 olduğunda en uzun kenarın c \le 6 olması gerektiğini belirlemek için kullanılmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: İkizkenar Üçgenleri Dahil Etmek

  • Yanlış: Toplamı 13 yapan (1, 6, 6) veya (5, 4, 4) gibi üçgenleri de çözüme eklemek.
  • Doğru: Soruda “çeşitkenar” şartı arandığı için kenarları eşit olan durumları elemek.
  • Neden yanlış: Çeşitkenar üçgenlerin tüm kenar uzunlukları kesinlikle birbirinden farklı olmak zorundadır.

Benzer bir üçgen eşitsizliği veya kenar-açı bağıntısı sorusuyla pratik yapmak ister misin?