Doğrusal bir parkurda birbirlerine doğru sabit hizlarla ilerleyen M ve N koşucularin \int =0
anındaki konumlarr ve hizlan şekildeki gibidir.
Buna göre
a Koşucuların hiz zaman grafiğini çiziniz ve kaç saniye sonra karşılaşacaklaıni bulunuż.
b Koşucuların 8. saniyedeki aralarındaki uzaklık kaç metredir?
C. M’nin başladığı noktayı referans alarak her bir koşucuya ait konum- zaman grafiğini cl-
ziniz.
M
m/s
Bir Boyutta Sabit Hızlı Hareket ve Karşılaşma Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bağıl Hız / Birbirine Doğru Hareket: $$v_{\text{yaklaşma}} = v_M + v_N$$
- Alınan Yol / Yer Değiştirme: $$\Delta x = v \cdot t$$
- Konum Denklemi: $$x(t) = x_0 + v \cdot t$$
ÇÖZÜM ADIMLARI:
a) Hız - Zaman Grafiği ve Karşılaşma Süresi
Adım 1 — Karşılaşma Süresinin Hesaplanması
Koşucular birbirlerine doğru hareket ettiklerinden birbirlerine yaklaşma hızları hızlarının toplamıdır:
v_{\text{yaklaşma}} = v_M + v_N = 4\text{ m/s} + 5\text{ m/s} = 9\text{ m/s}
Aralarındaki başlangıç mesafesi 81\text{ m} olduğuna göre karşılaşma süresi (t):
t = \frac{\Delta x}{v_{\text{yaklaşma}}} = \frac{81\text{ m}}{9\text{ m/s}} = 9\text{ s}
Adım 2 — Hız - Zaman (v-t) Grafiğinin Tanımlanması
Sağa doğru olan hareket yönü pozitif (+), sola doğru olan hareket yönü negatif (-) olarak seçildiğinde:
- M Koşucusu: v = +4\text{ m/s} değerinde, zaman ekseninin üzerinde yatay düz bir doğru (0 ile 9\text{ s} aralığında).
- N Koşucusu: v = -5\text{ m/s} değerinde, zaman ekseninin altında yatay düz bir doğru (0 ile 9\text{ s} aralığında).
v (m/s)
^
+4 |------------- (M koşucusu)
|
0 +-------------------> t (s)
| 9
-5 |------------- (N koşucusu)
b) 8. Saniyede Aralarındaki Uzaklık
Adım 3 — Koşucuların 8 Saniyede Aldıkları Yollar
- M koşucusunun aldığı yol:
x_M = v_M \cdot t = 4\text{ m/s} \cdot 8\text{ s} = 32\text{ m}
- N koşucusunun aldığı yol:
x_N = v_N \cdot t = 5\text{ m/s} \cdot 8\text{ s} = 40\text{ m}
Toplam katledilen mesafe:
x_{\text{toplam}} = 32\text{ m} + 40\text{ m} = 72\text{ m}
Aralarındaki uzaklık (d):
d = 81\text{ m} - 72\text{ m} = 9\text{ m}
(Pratik Yol: Karşılaşmaya 9 - 8 = 1\text{ s} kalmıştır. 1 saniyede aralarındaki mesafe 9\text{ m/s} \cdot 1\text{ s} = 9\text{ m} azalacaktır; dolayısıyla aralarındaki mesafe 9\text{ m}'dir.)
c) Konum - Zaman (x-t) Grafiği (M Referans Alındığında)
Adım 4 — Konum Denklemlerinin Kurulması
- Başlangıçta M’nin bulunduğu nokta referans (x_0 = 0\text{ m}) kabul edilir.
- N’nin başlangıç konumu: x_0 = +81\text{ m} olur.
Zamana bağlı konum denklemleri:
- M için: x_M(t) = 0 + 4t
- t = 0\text{ s} için x_M = 0\text{ m}
- t = 9\text{ s} için x_M = 4 \cdot 9 = 36\text{ m}
- N için: x_N(t) = 81 - 5t
- t = 0\text{ s} için x_N = 81\text{ m}
- t = 9\text{ s} için x_N = 81 - (5 \cdot 9) = 36\text{ m}
Koşucular t = 9\text{ s} anında referans noktasından 36\text{ m} uzakta yan yana gelirler.
x (m)
^
81 |\
| \ (N koşucusu)
36 |----\--------- Kesişim Noktası (Karşılaşma)
| / \
| / \
| / (M koşucusu)
0 +------|-------> t (s)
0 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- a) Koşucular 9\text{ saniye} sonra karşılaşırlar. (Hız-zaman grafiğinde v_M = +4\text{ m/s}, v_N = -5\text{ m/s} sabit doğrularıdır.)
- b) 8. saniyede aralarındaki uzaklık **9\text{ metre}**dir.
- c) Konum-zaman grafiğinde M noktası (0,0)'dan (9, 36)'ya yükselen; N noktası (0, 81)'den (9, 36)'ya inen doğrusal çizgilerle gösterilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Hız - Vektörel Büyüklük: Hız yönlü bir büyüklük olduğu için zıt yönlü hareketlerde birinin hızı +v, diğerinin hızı -v olarak ifade edilir.
- Hız - Zaman Grafiğinin Altında Kalan Alan: Yer değiştirmeyi verir. Zaman ekseninin üstündeki alan pozitif yer değiştirmeyi, altındaki alan negatif yer değiştirmeyi belirtir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Hız-zaman grafiği çizerken N’nin hızını da pozitif alana +5\text{ m/s} olarak çizmek.- Doğru Yaklaşım: Doğrusal yolda yönler zıttır; dolayısıyla N sola hareket ettiği için hızı negatif (-5\text{ m/s}) olarak gösterilmelidir.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için koşucuların aynı yönde koştuğu (yakalama) bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?