Sabit olmayan geometrik bir (a_{n}) dizisi için
olduğuna göre, \frac{(a_{4})}{(a_{1})} + \frac{(a_{3})}{(a_{2})} ifadesinin değeri kaçtır?
A) -3
B) -2
C) 0
D) 2
E) 3
Geometrik Dizilerde Genel Terim ve Ortak Çarpan Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir geometrik dizinin genel terimi a_n = a_1 \cdot r^{n-1} (r ortak çarpan) kuralı ile bulunur; küp açılımı özdeşliği ise r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1) şeklindedir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen terimleri ortak çarpan (r) cinsinden yazma
Dizinin terimlerini ilk terim a_1 ve ortak çarpan r cinsinden ifade edip denklemde yerine yazalım:
\frac{a_4 - a_1}{a_3 - a_2} = \frac{a_1 \cdot r^3 - a_1}{a_1 \cdot r^2 - a_1 \cdot r} = -1
Adım 2 — Ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme
Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım (a_n sabit dizi olmadığı için r \neq 1 ve a_1 \neq 0’dır):
\frac{a_1(r^3 - 1)}{a_1 \cdot r(r - 1)} = \frac{(r - 1)(r^2 + r + 1)}{r(r - 1)} = \frac{r^2 + r + 1}{r} = -1
Adım 3 — Ortak çarpanı (r) bulma
İçler-dışlar çarpımı yaparak ikinci dereceden denklemi çözelim:
r^2 + r + 1 = -r \implies r^2 + 2r + 1 = 0 \implies (r + 1)^2 = 0 \implies r = -1
Adım 4 — İstenen ifadenin değerini hesaplama
Sorulan ifadeyi r cinsinden yazıp r = -1 değerini yerine koyalım:
\frac{a_4}{a_1} + \frac{a_3}{a_2} = r^3 + r = (-1)^3 + (-1) = -1 - 1 = -2
CEVAP: B) -2
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda verilen “sabit olmayan dizi” ifadesi, r \neq 1 olduğunu belirtir. Bu sayede pay ve paydadaki (r - 1) çarpanı tereddütsüz sadeleştirilebilir.