- p bir doğal sayı olmak üzere,
S(p): "p sayısını tam bölebilen farkli asal sayılarin
sayısı
biçiminde tanımlaniyor.
Buna göre m bir asal sayı olmak üzere,
I. S(m) =1
II. S(m?+ m)2
III. S(m) = 1
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız Il
D) Il ve II
C) I ve lll
E) |Il ve Il|
S(p) Asal Bölen Fonksiyonu Sorusu Çözümü
KULLANILAN TANIM VE KURALLAR:
- S(p) Tanımı: p doğal sayısının farklı asal bölenlerinin (asal çarpanlarının) sayısıdır.
- Asal Sayı: Yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen 1’den büyük doğal sayılardır (2, 3, 5, 7, \dots).
- Ardışık Sayıların Asallığı: Ardışık iki pozitif tam sayı olan m ile m+1 daima aralarında asaldır (\text{EBOB}(m, m+1) = 1).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — I. Öncülün Analizi: S(m) = 1
- m bir asal sayı olduğu için tek bir asal böleni vardır, o da kendisi (m) dir.
- Farklı asal bölen adedi 1 olduğundan:S(m) = 1
- I. öncül her zaman doğrudur.
Adım 2 — II. Öncülün Analizi: S(m^2 + m) \ge 2
- İfadeyi çarpanlarına ayıralım:m^2 + m = m(m + 1)
- m bir asal sayı olduğu için m \ge 2 ve m+1 \ge 3 olur.
- m ile m + 1 ardışık sayılar olduğundan aralarında asaldır; yani ortak bir asal bölenleri bulunmaz.
- m’in asal böleni m’dir (1 adet asal).
- m + 1 \ge 3 bir tam sayı olduğundan en az 1 tane m’den farklı asal böleni olmak zorundadır.
- Dolayısıyla m(m + 1) çarpımının birbirinden farklı en az 2 tane asal böleni bulunur:S(m^2 + m) \ge 2
- II. öncül her zaman doğrudur.
Adım 3 — III. Öncülün Analizi: S(m^3) = 1
- m bir asal sayı olduğu için m^3 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli yalnızca m^3 şeklindedir.
- Sayının tek asal böleni m sayısıdır.
- Dolayısıyla farklı asal bölen sayısı 1’dir:S(m^3) = 1
- III. öncül her zaman doğrudur.
Adım 4 — Seçenek Karşılaştırması
A) Yalnız I — II ve III de her zaman doğrudur.- B) Yalnız II — I ve III de her zaman doğrudur.
- C) I ve III — II’yi dahil etmediği için eksiktir.
- D) II ve III — I’i dahil etmediği için eksiktir.
E) I, II ve III — Üç öncül de her zaman kesinlikle doğrudur.
Adım 5 — Son Doğrulama
- m = 2 için test edelim:
- S(2) = 1 (Doğru)
- S(2^2 + 2) = S(6) = 2 (Asal bölenleri: 2 ve 3, S(6) \ge 2 Doğru)
- S(2^3) = S(8) = 1 (Asal böleni: 2, Doğru)
- m = 3 için test edelim:
- S(3) = 1 (Doğru)
- S(3^2 + 3) = S(12) = 2 (Asal bölenleri: 2 ve 3, S(12) \ge 2 Doğru)
- S(3^3) = S(27) = 1 (Asal böleni: 3, Doğru)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) I, II ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Çarpan Sayısı
- Tanım: Bir sayıyı kalansız bölen asal sayıların her biri.
- Bu problemde: m asal olduğundan m ve m^k (k \in \mathbb{Z}^+) ifadelerinin yalnızca 1 tane asal böleni (m) vardır.
2. Aralarında Asal Sayılar
- Tanım: 1’den başka ortak pozitif böleni olmayan sayılar.
- Bu problemde: m ile m+1 aralarında asal olduğu için çarpanlardan gelen asal bölenler kesinlikle birbirinden farklıdır.
Bu soru tipinde ardışık sayıların asallık ilişkisini daha iyi kavramak için benzer bir pratik soru çözmemi ister misin?