Ş Bulunan Dizmiş Kamil; Sırasıyla 3 Sarı, 2 Mavi ve 1 Kırmızı Taşlı Bileklik Problemi Çözümü
Önemli Noktalar
- Bileklikte 3 sarı, 2 mavi ve 1 kırmızı taş içeren bir renk dizilimi belirli sayıda tekrarlanır
- Kutudaki iç taşlar, bilekliğin bir kısmını oluşturur; diğer taşlar dış kısımda kalır
- Kutunun içindeki sarı taş sayısı, içinde bulunan kırmızı taş sayısından 5 fazladır
- Bu bilgiler ışığında toplam taş sayısını bulmak gerekir
Bileklikte her tekrar 3 sarı + 2 mavi + 1 kırmızı = 6 taş içerir. Kamil’in bilekliği kutuya koyduğunda kutunun içinde bazı taşlar, dışında bazı taşlar kalır. Kutunun iç kısmında 13 taş vardır ve içindeki sarı taş sayısı, içindeki kırmızı taş sayısından 5 fazladır. Bu verilere göre toplam taş sayısını belirlemek için tekrar sayısını (n) ve iç kısmın kaçıncı tekrar olduğuna karar verilmeli.
İçindekiler
- Problemin Detaylı Analizi
- Matematiksel Denklem Kurulması
- Karşılaştırma Tablosu: İpucu ve Çözüm Yolları
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Problemin Detaylı Analizi
Bileklik renkle sırasıyla 3 sarı, 2 mavi ve 1 kırmızı taştan oluşan 6 taşlık bir desen tekrarıdır.
Kamil bilekliği kutuya koyduğunda:
- Kutunun iç kısmında toplam 13 taş var
- Kutunun içindeki sarı taş sayısı, kutunun içindeki kırmızı taş sayısından 5 fazla
Burada dikkat edilmesi gerekenler:
- Taşlar tekrar eden desen şeklinde dizildiği için kutunun içinde tam veya kısmi tekrarlar olabilir
- Sarı taşlar 3 adet, kırmızı taş ise 1 adet içeriyor her tam tekrarda
- Kutunun içindeki taş sayısının 13 olması, kısmi tekrara işaret ediyor
Pro Tip: İçerdeki taşların tam sayısını ve renk dağılımını kullanarak, kaç defa tam tekrar olduğunu ve kısmi tekrarın kaç taş olduğunu bulabilirsiniz.
Matematiksel Denklem Kurulması
Desen uzunluğu: 6 taş (3 Sarı + 2 Mavi + 1 Kırmızı)
Toplam tekrar sayısı: n
Toplam taş sayısı: T = 6n
Kutunun içindeki taş sayısı: 13 = 6k + r , burada k tam tekrar sayısını, r ise kısmi taş sayısını gösterir, r < 6
İçindeki sarı taş sayısı = içindeki kırmızı taş sayısından 5 fazla.
Bu durumda;
- İçerdeki sarı taş sayısı = 3k + s (burada s kısmi kısımdaki sarı taş sayısı)
- İçerdeki kırmızı taş sayısı = k + m (burada m kısmi kısımdaki kırmızı taş sayısı)
Denklem:
3k + s = (k + m) + 5 \Rightarrow 3k - k + s - m = 5 \Rightarrow 2k + (s - m) = 5
13 taş olduğu için:
13 = 6k + r
burada r kısmi taş sayısı, 0 ≤ r < 6
Olabilecek kombinasyonları deneyelim:
- k=2 için r=1 olur çünkü 6 \times 2 + 1 = 13
- Kısmi kısımda 1 taş var, bu taş sarı, mavi veya kırmızı olabilir.
- k=1 için r=7 olmaz çünkü r < 6
- k=3 için r=-5 yok
k=2, r=1 için denkleme bakalım:
2k + (s - m) = 5 \Rightarrow 2 \times 2 + (s - m) = 5 \Rightarrow 4 + (s - m) = 5 \Rightarrow s - m = 1
r = 1 olduğu için kısmi kısımda 1 taş var, yani bu taş sarı veya kırmızı olabilir (mavi dahil olabilir ama renk düzeni ve dağılım önemli). Eğer kısmi kısımda 1 sarı taş varsa s=1 ve kırmızı taş yoksa m=0, bu durumda s - m=1 olur ve eşitlik sağlanır.
Toplam taş sayısı:
T = 6n
Burada n, toplam tekrar sayısı. İç kısmın 2 tam tekrar ve 1 taş kısmi tekrar olduğu görüldü. Ancak bu problemde kutunun dışındaki taşlar da var, tüm bileklik tüm tekrarlarla tamamlanıyor.
İçerideki taşlar 13 tane olduğuna göre, bileklik toplam 3 tekrar olabilir (18 taş), ya da 6 tekrar (36 taş), ya da yukarıdaki seçeneklerden biri. Bu durumda test şıklarını deneyelim:
A) 30, B) 36, C) 42, D) 48, E) 54
36 taşı baz alalım:
- 36 taş = 6 × 6 tekrar
- İç kısımda 13 taş olduğuna göre bileklik 6 tam tekrardan oluşuyor ve kutunun iç kısmında 2 tam tekrar + 1 taş kısmi tekrar var. Bu uyuyor.
Sonuç olarak toplam taş sayısı 36’dır.
Karşılaştırma Tablosu: İpucu ve Çözüm Yolları
| Kriter |
Açıklama |
Sonuç / Öneri |
| Her Desen Uzunluğu |
6 taş (3 Sarı, 2 Mavi, 1 Kırmızı) |
6n taş toplam |
| İç Kısım Taş Sayısı |
13 taş (kutunun içinde) |
2 tam + 1 kısmi tekrar |
| Sarı-Kırmızı Oranı |
Sarı sayısı kırmızıdan 5 fazla |
Denklemle uyumlu |
| Toplam Taş Sayısı |
Şıklar ile uyumlu olan 36 |
Doğru cevap B) 36 |
Özet Tablo
| Unsur |
Detay |
| Tekrar deseni |
3 Sarı + 2 Mavi + 1 Kırmızı taş = 6 taş |
| Kutunun içindeki taş sayısı |
13 taş |
| İçerdeki sarı taşların farkı |
Kırmızı taş sayısından 5 fazla |
| Toplam taş sayısı |
36 taş |
| Çözüm yöntemi |
Denklem kurma ve şık karşılaştırma |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden 36 taşı seçtik?
İç kısımdaki 13 taş iki tam tekrar (12 taş) ve 1 taş kısmi tekrar olduğu için toplam taş sayısı 6’nın katı olan en uygun seçenek 36’dır.
2. Kutunun içindeki taşların sırası neden önemli?
Taşların renk dizilimi korunarak yerleştiği için kısmi tekrarın hangi renkten olduğu, içerdeki sarı-kırmızı farkını etkiler.
3. Bu problem türü nasıl çözülebilir?
Önce desenin toplam taş sayısı, ardından içerideki taş sayısı ve renk farkı denkleme dökülür. Sonra olası tekrar sayıları ve şıklar değerlendirilir.
Sonraki Adımlar
İsterseniz, bu tür permutasyon ve dizilim problemlerinde sıklıkla kullanılan modüler aritmetik yöntemleri ve periyodik desenlerin matematiksel analizi konularını detaylı inceleyelim mi?
@elanur_tombas