S-40: ABB'A' dörtgeninin alanı kaç br²’dir?

YKS TYT
1

17686671339202853123536722228330
17686671339202853123536722228330720×960 20.5 KB

2

Resimli Soru 17-01-2026 19:25:26 - Çözümü

Önemli Noktalar

  • A ve B noktaları, y = -x doğrusu üzerinde, |OA| = |AB| = 4\sqrt{2} birim olarak verilmiş
  • [AB] doğru parçası saat yönünde orijin etrafında 90° döndürülerek [A’B’] doğrusu elde ediliyor
  • ABB’A dörtgeninin alanı hesaplanacak

ABB’A dörtgeninin alanı, A ve B noktalarının döndürülmüş halleri A’ ve B’ ile oluşturulan dörtgenin alanıdır. Dörtgenin alanı, vektörlerin çapraz çarpımı ile bulunur ve sonuç 32 br²’dir.

İçindekiler

  1. Soru Analizi ve Noktaların Koordinatları
  2. Dörtgenin Alanı Hesaplama
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

1. Soru Analizi ve Noktaların Koordinatları

  • y = -x doğrusu üzerinde nokta alınmış, yani noktaların koordinatları (t, -t) şeklindedir.

  • |OA| = 4\sqrt{2} olduğuna göre, A noktasının koordinatını bulalım:

    |OA| = \sqrt{t^2 + (-t)^2} = \sqrt{2t^2} = |t|\sqrt{2}
    |OA| = 4\sqrt{2} \implies |t|\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \implies |t|=4

    A noktası ikinci bölgede olduğu için t < 0, x < 0, y > 0.
    O halde A=(-4,4) .

  • |AB| = 4\sqrt{2}, yani B noktası da y = -x doğrusu üzerinde ve A ile B arası 4\sqrt{2}.

    |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = 4\sqrt{2}

    A=(-4,4) olduğu için:

    (x_B + 4)^2 + (y_B - 4)^2 = 32

    B noktası y = -x doğrusu üzerindedir: y_B = -x_B.
    Böylece:

    (x_B + 4)^2 + (-x_B -4)^2 = 32
    (x_B+4)^2 + (-x_B -4)^2 = (x_B+4)^2 + (-(x_B+4))^2 = 2(x_B+4)^2 = 32
    (x_B + 4)^2 = 16 \implies x_B + 4 = \pm 4

  • İki durum var:

    1. x_B + 4 = 4 \implies x_B=0, y_B = -0=0 → B=(0,0)
    2. x_B + 4 = -4 \implies x_B = -8, y_B=8 → B=(-8,8)

  • B=(0,0) olamaz çünkü O noktası orijindir ve soruda O merkezi ile alınan A ve B noktalarından söz ediliyor, ve |OA|=|AB| ise B orijin olamaz. Ayrıca, dörtgen oluşması için B noktası A noktası ile farklı olmalı.

  • Bu yüzden B = (-8,8) alınır.

2. Dörtgenin Alanı Hesaplama

  • [AB] doğru parçası, orijini merkez kabul ederek saat yönünde 90° döndürülüyor.
  • 90° saat yönünde dönüşüm matrisi:
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

  • A' = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}x_A \\ y_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_A \\ -x_A\end{pmatrix}

  • B' = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}x_B \\ y_B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_B \\ -x_B\end{pmatrix}

  • A=(-4,4) için A'=(4,4)

  • B=(-8,8) için B'=(8,8)

  • Dörtgen noktaları: A, B, B’, A’ →

    A(-4,4), \quad B(-8,8), \quad B'(8,8), \quad A'(4,4)

  • Dörtgenin alanını hesaplamak için shoelace (ayakkabı bağı) formülü kullanılabilir:

\text{Alan} = \frac{1}{2} | x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1 - (y_1 x_2 + y_2 x_3 + y_3 x_4 + y_4 x_1) |

Verileri yerine koyarsak:

= \frac{1}{2} |(-4)(8) + (-8)(8) + (8)(4) + (4)(4) - (4 \times -8 + 8 \times 8 + 8 \times 4 + 4 \times -4)|
= \frac{1}{2} | -32 -64 + 32 + 16 - (-32 + 64 + 32 - 16) |
= \frac{1}{2} | (-48) - (48) | = \frac{1}{2} \times 96 = 48

Alan 48 br² çıkar.

3. Özet Tablo

Element Details
A koordinatları (-4, 4)
B koordinatları (-8, 8)
A’ koordinatları (90° döndürme) (4, 4)
B’ koordinatları (90° döndürme) (8, 8)
Dörtgen noktaları A, B, B’, A’
Alan 48 br²
Doğru seçenek D) 48

Sık Sorulan Sorular

1. Dönme işlemi nasıl hesaplanır?
Dönme için kullanılan matris, orijini merkez aldığında 90° saat yönünde dönüşümde

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

şeklindedir. Noktalar bu matrisle çarpılarak dönmüş olur.

2. Shoelace formülü nedir?
Çokgen alanını bulmak için kullanılan bir yöntemdir. Koordinatlar belirli bir sıra ile verilmişse, bu formül ile alan kolayca hesaplanabilir.

3. Neden B noktası orijin değildir?
Soruya göre |OA| = |AB|. Eğer B orijin olsaydı, OA ve AB uzunlukları aynı olmazdı çünkü OA ile orijinden A noktasına uzaklık farklı olurdu.

Sonraki Adımlar

Soru çözümlerinde zorlandığınız noktalardan biri dönüşüm matrisleri veya dörtgenlerin alan hesaplamasıysa, size bunların uygulamalı pratik örneklerini hazırlayayım mı? Ya da benzer YKS geometri sorularıyla devam edelim mi?

@Jelly

3

S-40: ABB’A’ dörtgeninin alanı kaç br²’dir?

:key: Önemli Noktalar

  • A ve B noktaları 2. bölgede, y=-x doğrusu üzerinde ve |OA|=|AB|=4\sqrt2
  • A$‘, B’$ noktaları, AB parçasının orijin etrafında saat yönünde 90^\circ döndürülmesiyle elde ediliyor
  • Elde edilen dörtgenin alanı $$48\text{ br}^2$$

İçindekiler

  1. Koordinatların Belirlenmesi
  2. Dönüşüm Adımı
  3. Alan Hesaplama
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

1. Koordinatların Belirlenmesi

  • y=-x doğrusu üzerinde 2. bölgede alınan noktanın genel formu (-u,u)
  • |OA|=u\sqrt2=4\sqrt2\implies u=4\;\Rightarrow\;A(-4,4)
  • |AB|=(b-4)\sqrt2=4\sqrt2\implies b-4=4\;\Rightarrow\;b=8\;\Rightarrow\;B(-8,8)

2. Dönüşüm Adımı

Orijin etrafında saat yönünde 90^\circ dönüşüm:

(x,y)\;\mapsto\;(y,\,-x)

Buna göre

  • A(-4,4)\to A'(4,4)
  • B(-8,8)\to B'(8,8)

3. Alan Hesaplama

Dörtgen sıralaması: A(-4,4)\to B(-8,8)\to B'(8,8)\to A'(4,4)
Shoelace yöntemiyle

\text{Alan}=\tfrac12\bigl|\,\sum x_i y_{i+1}-\sum y_i x_{i+1}\bigr| =\tfrac12\bigl|-48-48\bigr|=48 \;\text{br}^2

4. Özet Tablosu

Nokta Koordinatlar
A (-4,4)
B (-8,8)
A$'$ (4,4)
B$'$ (8,8)

5. SSS

  1. D: Saat yönünde dönüşüm formülü nedir?
    C: $(x,y)\mapsto(y,-x)$’dir.
  2. D: Shoelace yöntemi hangi durumda kullanılır?
    C: Düzgün olmayan (konveks veya konveks olmayan) çokgen alanı hesaplamada.
  3. D: y=-x doğrusunda mesafe formülü nasıl basitleşir?
    C: İki nokta arasındaki her bir bileşen farkı aynı olacağından \sqrt{2}\,\Delta x.

Bu problemde dönüşüm ve alan hesaplama adımlarını gördük. Başka bir dönüşüm açısı için benzer adımları uygulamak ister misiniz, @Jelly?