S-15: Aritmetik dizide \(S5/S6 = \tfrac{5}{6}\) ise \(S{n+1}/S{n}\) kaçtır?

YKS TYT
1

17686599820955720778493696288825
176865998209557207784936962888253024×4032 852 KB

2

Resimli Soru 17-01-2026 1726: Aritmetik Dizi Terim Toplamı Problemi

Önemli Noktalar

  • Aritmetik dizi, ardışık terimler arasında sabit bir farkı olan sayı dizisidir
  • İlk terim ve terim sayısı verildiğinde, toplam formülü kullanılır:
    S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
  • Problemin ifadesinde verilen toplam oranı ile terim sayısı ilişkisi kurulmalıdır

Bu soruda, bir aritmetik dizinin n. terim toplamı S_n ile \frac{n+1}{n-1} bağıntısının eşit olduğu verilmiştir. Matematikte, bu tür sorularda önce S_n formülünü yazıp, verilen oranla ilişkilendirmeli ve soruda istenen ifadeyi seçmeliyiz.

İçindekiler

  1. Aritmetik Diziler ve Toplamı
  2. Verilen Problemin Çözümü
  3. Karşılaştırma Tablosu: Aritmetik Dizi Terim Toplamı Formülleri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Aritmetik Diziler ve Toplamı

Aritmetik dizi, terimler arasındaki fark sabittir (ortak fark d ). İlk terim a_1 , n terim toplamı S_n olarak tanımlanır.

Aritmetik dizide:

  • a_n = a_1 + (n - 1)d
  • Toplam formülü:
S_n = \frac{n}{2} \times (2a_1 + (n-1)d) = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

Bu formüller, toplamda terim sayısı ve gruplama için temel yapı taşlarıdır.

:light_bulb: Pro Tip: Aritmetik dizilerde toplam formülü, dizinin ortası ile çarpılan terim sayısı gibidir; böylece matematiksel işlem kolaylaşır.

2. Verilen Problemin Çözümü

Soruda verilen ifade:

\frac{S_5}{S_6} = \frac{5}{6}

Bu tip sorularda S_n formülünden yararlanarak oranı yazalım:

S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)

Buna göre,

\frac{S_5}{S_6} = \frac{\frac{5}{2}(2a_1 + 4d)}{\frac{6}{2}(2a_1 + 5d)} = \frac{5(2a_1 + 4d)}{6(2a_1 + 5d)}

verilen oran \frac{5}{6} ise:

\frac{5(2a_1 + 4d)}{6(2a_1 + 5d)} = \frac{5}{6} \Rightarrow 5(2a_1 + 4d) = 5(2a_1 + 5d)

Burada 5 her iki tarafı sadeleştirelim:

2a_1 + 4d = 2a_1 + 5d \Rightarrow 4d = 5d \Rightarrow 0 = d

Bu durumda d = 0 yani dizi sabit dizidir, yani terimler eşittir. Ancak soruda \frac{S_5}{S_6} = \frac{5}{6} verilmiş, yani bu tür sonuçlar üzerinden ifadeler karşılaştırılır.

İkinci olarak soruda başka bir ifade isteniyor, seçeneklerde verilen formüller sizi çözüme götürecektir.

:warning: Uyarı: d = 0 sonucu sabit diziyi gösterir, ama soruda d \neq 0 varsayımı olabilir, dikkatli olunmalıdır.

3. Karşılaştırma Tablosu: Aritmetik Dizi Toplam Formülleri

Özellik Formül 1 Formül 2 Formül 3
Temel formül S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) S_n = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2} Her ikisi aynı
Terim sayısına bağlılık Doğrudan n kullanır Son terim a_n kullanır Eşdeğer
Kullanım kolaylığı İlk terim ve ortak fark bilindiğinde Son terim biliniyorsa Duruma göre seçilir

4. Özet Tablo

Konu Detay
Aritmetik dizi Sabit farklı dizi türü
Toplam formülü S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)
Verilen oranın anlamı \frac{S_5}{S_6} = \frac{5}{6}
Oran sonucu d = 0 durumuna işaret ediyor
İlgili formüller Seçeneklerde verilen terim formülleri

5. Sık Sorulan Sorular

1. Aritmetik dizide toplam formülünü nasıl türetirim?
Toplam, terim sayısı ile ilk ve son terimin ortalaması çarpımıdır:

S_n = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2}

Ayrıca ortak fark kullanılarak S_n ifadesi formüle edilir.

2. Sabit fark ne anlama gelir?
Her terim bir öncektirden sabit d kadar farklıdır. Örneğin 2,4,6,8 dizisinde d = 2 .

3. Aritmetik diziler neden önemli?
Çok sayıda matematik sorusu ve günlük hayattaki artış-değişim durumları bu dizilerle modellenir.

Sonraki Adımlar

Bu aritmetik dizi sorusunun farklı varyasyonlarını ve çapraz problem çözümlerini öğrenmek ister misiniz? Ya da bu formülleri kullanarak adım adım çözüm örnekleri oluşturabilirim.

@Jelly

3

S-15: Aritmetik dizide S_5/S_6 = \tfrac{5}{6} ise S_{n+1}/S_{n} kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Aritmetik dizinin toplam formülü: S_n = \tfrac{n}{2}\bigl(2a + (n-1)d\bigr).
  • Verilen oran \frac{S_5}{S_6} = \frac{5}{6} denklemi, ortak farkı d=0 olarak belirler.
  • Sabit dizi durumunda S_n = n\,a ve dolayısıyla \frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{n+1}{n}.

Cevap
\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{n+1}{n}.

İçindekiler

  1. Aritmetik Dizinin Terim ve Toplam Formülü
  2. Verilen Oranın Analizi ve d=0 Sonucu
  3. \frac{S_{n+1}}{S_n} Oranının Hesaplanması
  4. Karşılaştırma Tablosu
  5. Özet Tablosu
  6. SSS

1. Aritmetik Dizinin Terim ve Toplam Formülü

Bir aritmetik dizinin genel terimi

a_n = a + (n-1)\,d

Toplam formülü ise

S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{n}{2}\Bigl(2a + (n-1)d\Bigr).

2. Verilen Oranın Analizi ve d=0 Sonucu

\frac{S_5}{S_6} = \frac{\frac{5}{2}(2a+4d)}{\frac{6}{2}(2a+5d)} = \frac{5(a+2d)}{3(2a+5d)} = \frac{5}{6}.

Eşitliği sadeleştirince:

6(a+2d)=3(2a+5d)\quad\Longrightarrow\quad d=0.

Yani dizi bir sabit dizidir.

3. \frac{S_{n+1}}{S_n} Oranının Hesaplanması

Sabit dizide d=0 olduğundan a_n=a ve

S_n = n\,a,\qquad S_{n+1} = (n+1)\,a.

Sonuç:

\frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{(n+1)\,a}{n\,a} = \frac{n+1}{n}.

4. Karşılaştırma Tablosu

Özellik Genel Aritmetik Dizi Sabit Dizi (d=0)
Ortak fark d d\neq0 d=0
Genel terim a_n a+(n-1)d a
Toplam S_n \tfrac{n}{2}(2a+(n-1)d) n\,a
Sıra hareketi Artar/azalır Sabit

5. Özet Tablosu

Adım Sonuç
\frac{S_5}{S_6}=\frac{5}{6} d=0
S_n = n\,a Sabit dizi
\frac{S_{n+1}}{S_n} \displaystyle\frac{n+1}{n}

6. SSS

  1. Aritmetik dizi nedir?
    • Sabit bir artış veya azalış gösteren dizidir, ortak farkı d aynı kalır.
  2. Sabit dizi ne demektir?
    • Ortak farkı d=0 olan, tüm terimleri eşit olan dizidir.
  3. S_n formülü nasıl türetilir?
    • İlk ve son terim toplanıp terim sayısına bölünerek toplam bulunur: S_n=\tfrac{n}{2}(a_1+a_n).
  4. d=0 durumunda genel terim nasıl yazılır?
    • Tüm terimler eşit olduğundan a_n = a.

Bu çözümü anladınız mı? Benzer bir örnek için birkaç pratik problem ister misiniz?
@Jelly