SORU:
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi nedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
İşaret tablosu çıkararak kesirli ifadenin işaretine göre çözüm yapılır. Bir kesrin işaretini bulurken pay ve paydanın işaretlerine bakılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonun işaret aralıklarını belirle
Grafikten;
- f(x) sıfır olan noktalar: x=2 ve x=5 (grafikte fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar)
- Fonksiyonun işaret değişimi bu noktalarda olur.
- f(x) < 0 olan aralık: (2, 5)
- f(x) = 0 noktalar: x=2, 5
Adım 2 — Payda olan ifade f(x) + 1 'in işaretini belirle
Grafikte y=f(x) grafiğinin -1 değerini aldığı nokta x=0 olarak görülüyor.
Yani f(0) = -1 ve orada kesir tanımsız olur.
Adım 3 — Kesrin işaretini belirle
Kesrin işareti:
Olması için pay ve paydanın işaretleri farklı veya payın sıfır olduğu noktalar (kesrin değeri sıfırsa) dahil edilir, paydanın sıfır olduğu nokta hariç (tanımsız).
İncelenecek noktalar: x=0 (payda 0, tanımsız), x=2 ve x=5 (pay 0, kesir 0)
Aralıkları inceleyelim:
-
( -\infty, 0 )
f(x) grafiğe göre pozitif, f(x)+1 ifadesi, f(x) büyük olduğundan pozitif. Kesrin işareti pozitif olur → > 0 → Eşitsizliği sağlamaz. -
(0, 2)
f(x) pozitif (grafikte 0 ile 2 arasında üstte),
f(x)+1 negatif (çünkü f(x) -1’den küçük), dikkat: burada f(x) 0’dan küçük mü? Hayır, grafikte 0 ile 2 arası fonksiyonun pozitif olduğunu görüyoruz. Fakat f(x)+1 önceden 0 iken artı ya da eksi olduğu değişime bakmalıyız. Ancak f(0)=-1, yani f(x)+1 = 0 orada, x=0 dışındaki sağ tarafında f(x) > -1 ve fonksiyonun pozitif olduğunu da göz önüne alalım. Bu durumda f(x)+1 > 0 olur.
Yani (0, 2) aralığında hem pay hem payda pozitif → kesir pozitif, eşitsizliği sağlamaz.
-
x=2
Pay sıfır → kesir 0 → eşitsizlik dahil, çözümde olacak. -
(2, 5)
Grafikte f(x) negatif, f(x)+1 yine pozitif (çünkü f(x) -1’den büyük, grafikten değeri -1 ile 0 arasında),
Negatif / pozitif = negatif → eşitsizliği sağlar. -
x=5
Pay sıfır → kesir 0 → eşitsizlik sağlanır. -
(5, 7)
Grafikte f(x) pozitif, f(x)+1 pozitif, kesir pozitif → sağlamaz.
Adım 4 — Toparlama
Çözüm aralıkları:
ve paydanın sıfır olduğu noktalar hariç, x=0 tanımsız (çözümde olmaz).
Ancak grafikte f(x) \leq 0 olduğu [2, 5] aralığında eşitsizlik sağlanır.
Başka çözücü noktaları veya aralıkları kontrol ettik, en geniş çözüm:
Verilen seçeneklerde buna en yakın olan: E şıkkı: (2, 5)
Problemde eşitsizlik \leq 0 olduğu için sınırdaki 2 ve 5 noktası dahil olmalı. Ama şıkta kapalı aralık yok, sadece açık (2,5) var. Eğer sınır dahil edilmez gözüküyorsa, en geniş çözüm budur.
CEVAP: E şıkkı (2, 5)
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Resim yeterince net değil; f(2) ve f(5) değerleri sıfır mı yoksa -1 mi, ayrıca grafiğin 2 ile 5 arasında y = -1 çizgisinin altında bir minimumu var mı? Lütfen bu üç noktayı onayla veya daha net bir fotoğraf gönder.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?