4. Bir öğrenci; pembe, sarı ve mavi renkli eşkenar üçgen biçimindeki üç kâğıt parçasını, birer kenarı aynı doğru üzerinde olacak ve yan yana olan her iki kâğıt parçasından birinin bir kısmı görünmeyecek biçimde, defterine şekildeki gibi yapıştırıyor. Oluşan bu şekilde bazı uzunluklar birim türünden aşağıda verilmiştir. Buna göre, oluşan bu şekilde görünen sarı renkli bölgenin alanının görünen pembe renkli bölgenin alanına oranı kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Eşkenar üçgen alanı formülü: $$A=\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$$
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kenar uzunluklarını bul
Pembe üçgenin bir kenarı veriliyor:
s_{p}=16
Mavi üçgenin bir kenarı veriliyor:
s_{m}=8
Toplam görünen taban uzunluğu, üç kenarın toplamından örtülen kısımlar çıkarılarak elde edilir:
s_{p}+s_{s}+s_{m}-4-2=30
Buradan sarı üçgenin kenar uzunluğunu bul:
16+s_{s}+8-6=30
s_{s}=30+6-24
s_{s}=12
Adım 2 — Her üçgenin alanını hesapla
Pembe üçgen alanı:
A_{p}=\frac{16^{2}\sqrt{3}}{4}
A_{p}=\frac{256\sqrt{3}}{4}
A_{p}=64\sqrt{3}
Sarı üçgen alanı:
A_{s}=\frac{12^{2}\sqrt{3}}{4}
A_{s}=\frac{144\sqrt{3}}{4}
A_{s}=36\sqrt{3}
Mavi üçgen alanı:
A_{m}=\frac{8^{2}\sqrt{3}}{4}
A_{m}=\frac{64\sqrt{3}}{4}
A_{m}=16\sqrt{3}
Adım 3 — Örtülen (görünmeyen) bölgelerin alanlarını hesapla
Pembe üçgenin, sarı tarafından örtülen kısmı tabanda 4 birimdir; bu örtüleme sonucu oluşan ortak bölge, kenarı 4 olan eşkenar üçgendir. Örtülen pembe alanı:
O_{p}=\frac{4^{2}\sqrt{3}}{4}
O_{p}=\frac{16\sqrt{3}}{4}
O_{p}=4\sqrt{3}
Sarı üçgenin, mavi tarafından örtülen kısmı tabanda 2 birimdir; örtülenen alan, kenarı 2 olan eşkenar üçgendir. Örtülen sarı alanı:
O_{s}=\frac{2^{2}\sqrt{3}}{4}
O_{s}=\frac{4\sqrt{3}}{4}
O_{s}=\sqrt{3}
Adım 4 — Görünen alanlar ve oran
Görünen pembe alanı:
A_{p}^{(g)}=A_{p}-O_{p}
A_{p}^{(g)}=64\sqrt{3}-4\sqrt{3}
A_{p}^{(g)}=60\sqrt{3}
Görünen sarı alanı:
A_{s}^{(g)}=A_{s}-O_{s}
A_{s}^{(g)}=36\sqrt{3}-\sqrt{3}
A_{s}^{(g)}=35\sqrt{3}
Oran:
\frac{A_{s}^{(g)}}{A_{p}^{(g)}}=\frac{35\sqrt{3}}{60\sqrt{3}}
\frac{A_{s}^{(g)}}{A_{p}^{(g)}}=\frac{35}{60}
\frac{A_{s}^{(g)}}{A_{p}^{(g)}}=\frac{7}{12}
CEVAP: \displaystyle \frac{7}{12}
TEMEL KAVRAMLAR:
-
Eşkenar üçgen alanı
- Tanım: Kenarı s olan eşkenar üçgenin alanı \displaystyle \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} formülü ile bulunur.
- Bu problemde: Her üçgenin alanını hesaplamak için kullanıldı.
-
Benzerlik / örtülen bölge
- Tanım: Aynı taban üzerinde yer alan eşkenar üçgenlerin tabanında örtüşen kısım, örtülen üçgenin taban uzunluğuna göre orantılı olarak benzer küçük bir eşkenar üçgen oluşturur.
- Bu problemde: Örtülen bölge kenarları doğrudan verilen 4 ve 2 birimlerinden elde edilip kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Örtülen uzunluğu yanlış kullanma
- Yanlış: Braketle verilen 4 ve 2 değerlerini toplam tabana eklemek.
- Doğru: Bu değerler örtülen (görünmeyen) taban uzunluklarıdır; toplam görünen tabanı hesaplarken toplam kenarlardan çıkarmalıyız.
- Neden yanlış: Verinin anlamı karıştırılırsa sarı kenarı yanlış bulunur.
- Düzeltme: Toplam görünür uzunluğun eşitlik kurarak çözülmesi gerekir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
ÇÖZÜM ADIMLARI: