dikaortyo
rin birer kenarı ll. durumdaki gibi çakışmiştir.
öre
Sütun|sütun|sütun
durum
4. sütundaki üçgenin alanı 17 br^{2} olduğuna göre yeşil
üçgenin 2. sütun üzerinde kalan parçasınin alanı kaç bi-
rimkaredir?
A) 14
B) 17
C) 22
D) 25
E) 32
sütun
Sütunlar Üzerinde Kalan Üçgen Parçasının Alanının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Üçgenin Alanı: \text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
- Yamuğun Alanı: \text{Alan} = \frac{a + b}{2} \times h (burada a ve b paralel kenarlar, h ise sütun genişliğidir)
- Doğrusal Orantı (Benzerlik): Doğrusal olarak genişleyen bir şekilde düşey kesit uzunluğu, yatay uzaklıkla doğru orantılıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sütun Genişlikleri ve Düşey Kesit Uzunluklarının Belirlenmesi
- Özdeş dikdörtgen sütunların her birinin genişliğine w diyelim.
- Yeşil üçgenin sol ucu 1. sütunun sol kenarında tek bir noktada (x = 0) son bulmaktadır; bu noktada düşey kesit yüksekliği h_0 = 0’dır.
- Yeşil üçgenin tepe noktası ile tabanı 3. ve 4. sütun arasındaki sınırda (x = 3w) yer alır. Bu sınırdaki düşey kesit uzunluğuna h diyelim.
-
- sütunun sağ kenarında (x = 4w) üçgenin köşeleri birleşerek bittiği için düşey uzunluk tekrar 0 olur.
Adım 2 — Sütun Sınırlarındaki Düşey Yüksekliklerin Hesaplanması
Üçgenin kenarları x = 0 noktasından x = 3w çizgisine kadar doğrusal uzandığı için düşey kesit uzunluğu mesafeyle orantılı olarak artar:
-
- ve 2. sütun arasındaki sınırda (x = w): h_1 = \frac{1}{3}h
-
- ve 3. sütun arasındaki sınırda (x = 2w): h_2 = \frac{2}{3}h
-
- ve 4. sütun arasındaki sınırda (x = 3w): h_3 = h
Adım 3 — 4. Sütundaki Parçanın Alanı ile h \cdot w Çarpımının Bulunması
4. sütunda kalan parça, tabanı h ve yüksekliği sütun genişliği w olan bir üçgendir:
\text{Alan}_4 = \frac{h \times w}{2} = 17\text{ br}^2
Buradan:
h \times w = 34
Adım 4 — 2. Sütundaki Parçanın Alanının Hesaplanması
2. sütunda kalan parça, paralel kenarları h_1 = \frac{1}{3}h ve h_2 = \frac{2}{3}h, yüksekliği ise sütun genişliği w olan bir dik yamuktur:
\text{Alan}_2 = \frac{h_1 + h_2}{2} \times w
\text{Alan}_2 = \frac{\frac{1}{3}h + \frac{2}{3}h}{2} \times w = \frac{h}{2} \times w = \frac{h \times w}{2}
Adım 3’te bulduğumuz h \times w = 34 değerini yerine yazarsak:
\text{Alan}_2 = \frac{34}{2} = 17\text{ br}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 17
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğrusal Kesit Alanı Bağıntısı
- Tanım: Tabanları eşit aralıklı paralel doğrularla bölünen üçgenlerde, ardışık aralıklardaki kesit genişlikleri aritmetik bir dizi oluşturur.
- Bu problemde: 0’dan h’ye giden doğrusal artışta, 2. sütunun paralel kenarlarının toplamı (h_1 + h_2 = \frac{1}{3}h + \frac{2}{3}h = h), 4. sütundaki üçgenin tabanına (h) eşit çıkmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Şekil Değişimini Yanlış Yorumlamak
- Yanlış: II. durumda sütunların yerinin değiştiğini görüp 2. sütundaki alanı bulmak için parçaları yeniden birleştirip karmaşık alan bağıntıları kurmaya çalışmak.
- Doğru: Soru, yeşil üçgenin 2. sütun üzerinde kalan orijinal parçasının alanını sormaktadır. Sütunların genişlikleri ve kesit oranları doğrudan I. durum üzerinden hesaplanabilir.
Bu problemdeki benzerlik ve alan ilişkisini pekiştirmek için 1. ve 3. sütundaki alanları da birlikte hesaplamamızı ister misin?
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
2. Sütun Üzerinde Kalan Yeşil Alanın Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Üçgen Alanı: \text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
- Yamuk Alanı: \text{Alan} = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \times \text{Yükseklik}
KISA ÇÖZÜM:
Adım 1 — Düşey Kesit Oranları
- Her bir sütunun genişliği w olsun.
- Yeşil üçgen 1. sütunun solundan (x=0) 3. sütunun sağına (x=3w) kadar doğrusal genişler. 3. ve 4. sütun sınırındaki kesit uzunluğuna h dersek:
- 1. ve 2. sütun sınırı (x = w): \frac{1}{3}h
- 2. ve 3. sütun sınırı (x = 2w): \frac{2}{3}h
Adım 2 — Alanların Karşılaştırılması
-
4. Sütundaki Üçgen Alanı:
\text{Alan}_4 = \frac{h \cdot w}{2} = 17\text{ br}^2 \implies h \cdot w = 34 -
2. Sütundaki Yamuk Alanı:
\text{Alan}_2 = \frac{\frac{1}{3}h + \frac{2}{3}h}{2} \cdot w = \frac{h \cdot w}{2} = 17\text{ br}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 17
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
- ve 3. sütunlardaki alanların pratik oranlamasını da kısaca göstermemi ister misin?
2. Sütundaki Yeşil Bölgenin Alanı
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Üçgenin Alanı: \text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
- Yamuğun Alanı: \text{Alan} = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \times \text{Genişlik}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Düşey Kesit Uzunluklarının Oranı
- Her sütunun yatay genişliğine w diyelim.
- Üçgen soldan sağa 3 sütun boyunca (3w mesafe) doğrusal olarak genişlediği için, 3. ve 4. sütun sınırındaki kesit uzunluğuna h dersek:
- 1. ve 2. sütun arasındaki sınırda düşey uzunluk: h_1 = \frac{1}{3}h
- 2. ve 3. sütun arasındaki sınırda düşey uzunluk: h_2 = \frac{2}{3}h
Adım 2 — Alanların Hesaplanması ve Eşitliği
- 4. Sütundaki Üçgenin Alanı:\text{Alan}_4 = \frac{h \times w}{2} = 17\text{ br}^2
- 2. Sütundaki Yamuğun Alanı:\text{Alan}_2 = \frac{h_1 + h_2}{2} \times w = \frac{\frac{1}{3}h + \frac{2}{3}h}{2} \times w = \frac{h \times w}{2}
İki alan formülü de \frac{h \times w}{2} ifadesine eşit olduğundan:
\text{Alan}_2 = 17\text{ br}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 17
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğrusal Orantı ile Alan Hesabı
- Tanım: Doğrusal artan kesitlerde orta dilimin ortalama genişliği, tepe kesitinin yarısına eşittir.
- Bu problemde: 2. sütunun orta tabanı \frac{\frac{1}{3}h + \frac{2}{3}h}{2} = \frac{h}{2} olduğundan alanı doğrudan 4. sütundaki üçgenin alanına (17\text{ br}^2) eşit olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
II. Durumdaki Şekil Kaymalarını Karıştırmak
- Yanlış: II. duruma bakarak 2. sütunun yer değiştirmesinden dolayı yeni alan hesabı yapmaya çalışmak.
- Right (Doğru): Soru, orijinal yeşil üçgenin 2. sütun üzerinde kalan parçasını sorduğu için doğrudan 1. durumdaki sütun oranları üzerinden işlem yapılır.
- Why it’s wrong (Neden yanlış): Sütunların yer değişimi parçaların kendi alanlarını değiştirmez, sadece konumlarını değiştirir.
Bu soru tipinde tüm sütunların (1, 2, 3, 4) alan dağılım oranlarını tek bir formülle pratik olarak çıkarmak ister misin?