rEST
o,7-C3+0,4
Riminln eOveu kaçur?1
iptominin anucu kactct
saylennlan kaç taneel Inrsyonclir?
B)3
D:
sieminin sojcu kaqbr
15 Bir ipin atilan bagcigirt ùrite pre knr birim Ksaliigt
jidasi gib
2 irm
1,4 1,2
işleminin sonucu kaçtır?
sol
uktaki Mki ioon sağdakine üç
an yana s coth elde ediliyor.
bagcik atildiğında şekildeki görünt
Bu durumda iplerdon biriin uzunluğu, diğerinin 2 katı
olduğuna göre; soldaki ipin uzunluğu kaç birimdir?
A)8
Cy
Dy
E)
13.8
144 15E
12:
D.2-0a
-0,04
A)
A 104 118 12c
B)
C)
D) 1
0,\bar{2} + 0,\bar{3} + 0,\bar{4} İşleminin Sonucu
KULLANILAN KURAL:
Bir devirli ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirirken tam kısmı 0 olan ve virgülden sonra sadece devreden basamağı bulunan sayılar için şu kural uygulanır:
0,\bar{a} = \frac{a}{9}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Devirli ondalık sayıları rasyonel (kesirli) biçimde yazalım
İfadede yer alan her bir devirli sayıyı kurala göre kesre dönüştürelim:
- 0,\bar{2} = \frac{2}{9}
- 0,\bar{3} = \frac{3}{9}
- 0,\bar{4} = \frac{4}{9}
Adım 2 — Kesirleri toplayalım
Paydaları eşit olduğundan payları doğrudan toplayabiliriz:
0,\bar{2} + 0,\bar{3} + 0,\bar{4} = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{4}{9}
Adım 3 — İşlemi sadeleştirerek sonuca ulaşalım
\frac{2 + 3 + 4}{9} = \frac{9}{9} = 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 1 (B Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Devirli Ondalık Sayı
- Tanım: Virgülden sonraki basamakları belirli bir düzen içinde sonsuza kadar tekrar eden sayılardır.
- Bu problemde: 0,222..., 0,333... ve 0,444... ifadeleri paydası 9 olan kesirlere dönüştürülerek toplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Devir çizgisini dikkate almadan düz ondalık gibi toplamak
- Yanlış: 0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9 = \frac{9}{10}
- Doğru: 0,\bar{2} + 0,\bar{3} + 0,\bar{4} = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1
- Neden yanlış: Sayıların üzerindeki çizgi devirli olduklarını gösterir; paydaları 10 değil 9 alınmalıdır.
Sayfadaki diğer sorulardan (örneğin 14. irrasyonel sayılar veya 15. ip sorusu) çözmemi istediğin başka bir soru var mı?
@Egitim_Danismani evet
@sorumatik_uzman_bot evet
Sayfadaki 14. ve 15. soruların adım adım çözümleri aşağıdadır:
14. Soru: İrrasyonel Sayıların Belirlenmesi
KULLANILAN KURAL:
- Rasyonel Sayı (\mathbb{Q}): a, b \in \mathbb{Z} ve b \neq 0 olmak üzere \frac{a}{b} şeklinde yazılabilen sayılardır. Kök dışına tam çıkan sayılar rasyoneldir.
- İrrasyonel Sayı (\mathbb{I} ya da \mathbb{Q}'): Virgülden sonrası devretmeyen sonsuz sayılar ve kök dışına tam çıkamayan sayılardır (\pi, e, \sqrt{2}, \sqrt{3} vb.).
- Tanımsızlık: Paydası 0 olan ifadeler reel sayı belirtmez.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — I. Öncülü İnceleyelim
-\sqrt{\frac{72}{2}} = -\sqrt{36} = -6 = -\frac{6}{1}
Tam sayı olarak kökten çıktığı için rasyonel sayıdır.
Adım 2 — II. Öncülü İnceleyelim
\pi \approx 3{,}14159...
Virgülden sonraki basamakları düzenli tekrar etmediği için irrasyonel sayıdır.
Adım 3 — III. Öncülü İnceleyelim
\frac{0}{7} = 0
0 bir tam sayı olduğu için rasyonel sayıdır.
Adım 4 — IV. Öncülü İnceleyelim
\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}
Paydadaki işlemi yazarsak:
\frac{11}{\sqrt{18} - 3\sqrt{2}} = \frac{11}{3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}} = \frac{11}{0} \quad (\text{Tanımsız})
İfade reel sayı tanımlı olmadığından irrasyonel sayı kategorisine girmez.
Adım 5 — V. Öncülü İnceleyelim
\sqrt{64} - \sqrt{49} = 8 - 7 = 1
1 bir tam sayı olduğu için rasyonel sayıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Yalnızca 1 tanesi (\pi) irrasyoneldir. (A Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
15. Soru: İp ve Bağcık Problemi
KULLANILAN FORMÜL:
\text{Kalan Boy} = \text{İlk Boy} - \text{Toplam Ksalma}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bağcık türlerinin kısalma miktarlarını bileşik kesre çevirelim
- 1. Tür Bağcık: 2\frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}\text{ birim}
- 2. Tür Bağcık: 3\frac{1}{2} = \frac{3 \times 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}\text{ birim}
Adım 2 — Sağdaki ipteki toplam kısalma miktarını bulalım
Şekilde sağdaki ipe 2 adet birinci tür, 1 adet ikinci tür bağcık atılmıştır:
\text{Toplam Kısalma} = 2 \times \frac{7}{3} + 1 \times \frac{7}{2}
\text{Toplam Kısalma} = \frac{14}{3} + \frac{7}{2}
Paydaları 6’da eşitleyelim:
\text{Toplam Kısalma} = \frac{28}{6} + \frac{21}{6} = \frac{49}{6}\text{ birim}
Adım 3 — İplerin başlangıçtaki uzunluğunu (x) hesaplayalım
- Soldaki ipin uzunluğu hiç değişmemiştir: \text{Sol İp} = x
- Sağdaki ipin yeni uzunluğu: \text{Sağ İp} = x - \frac{49}{6}
Problemde soldaki ipin uzunluğunun, sağdakinin 2 katı olduğu belirtilmiştir:
x = 2 \cdot \left(x - \frac{49}{6}\right)
x = 2x - \frac{49}{3}
x = \frac{49}{3}\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \frac{49}{3} (E Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tam Sayılı Kesirleri Bileşik Kesre Çevirme
- Tanım: a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c} formülüyle hesaplanır.
- Bu problemde: Bağcıkların neden olduğu kısalma miktarları işlem kolaylığı için bileşik kesre çevrilip toplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tanımsız İfadeleri İrrasyonel Sayı ile Karıştırmak
- Yanlış: Paydası sıfır olan \frac{11}{0} ifadesini irrasyonel kabul etmek.
- Doğru: Paydası sıfır olan ifadeler tanımsızdır ve gerçel (reel) sayılar kümesinde yer almaz.
Sayfanın sol tarafındaki 9, 10, 11 veya 12. sorulardan da detaylı çözümünü görmek istediğin var mı?
14. Soru: İrrasyonel Sayıların Belirlenmesi
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Step 1 — I. Öncülü İnceleyelim (-\sqrt{\frac{72}{2}})
-\sqrt{\frac{72}{2}} = -\sqrt{36} = -6
-6 sayısı iki tam sayının oranı şeklinde (\frac{-6}{1}) yazılabildiği için Rasyonel bir sayıdır.
Step 2 — II. Öncülü İnceleyelim (\pi)
\pi sayısı, virgülden sonraki basamakları devretmeden sonsuza kadar giden aşkın bir sayıdır ve iki tam sayının oranı şeklinde yazılamaz. Dolayısıyla İrrasyonel bir sayıdır.
Step 3 — III. Öncülü İnceleyelim (-\frac{0}{7})
-\frac{0}{7} = 0
0 sayısı \frac{0}{1} şeklinde ifade edilebildiğinden bir Rasyonel sayıdır.
Step 4 — IV. Öncülü İnceleyelim (\frac{11}{\sqrt{18} - 3\sqrt{2}})
\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}
Paydayı düzenleyelim:
\sqrt{18} - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 0
Payda sıfır olduğundan \frac{11}{0} ifadesi tanımsızdır. Tanımsız ifadeler bir reel sayı belirtmediği için irrasyonel sayı kümesine dahil edilmez.
Step 5 — V. Öncülü İnceleyelim (\sqrt{64} - \sqrt{49})
\sqrt{64} - \sqrt{49} = 8 - 7 = 1
1 sayısı bir tam sayıdır ve Rasyonel bir sayıdır.
Step 6 — Seçenek Karşılaştırması ve Sonuç
- I: Rasyonel (-6)
- II: İrrasyonel (\pi)
- III: Rasyonel (0)
- IV: Tanımsız (\frac{11}{0})
- V: Rasyonel (1)
Verilen sayılardan yalnızca 1 tanesi (\pi) irrasyoneldir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
15. Soru: İp ve Düğüm Problemi
KULLANILAN FORMÜL:
\text{Son Uzunluk} = \text{İlk Uzunluk} - \text{Toplam Kısalma Miktarı}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Step 1 — Düğüm türlerinin kısalma miktarlarını bileşik kesre çevirelim
- 1. Tür Düğüm (alttaki iki düğüm): 2\frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}\text{ birim}
- 2. Tür Düğüm (üstteki tek düğüm): 3\frac{1}{2} = \frac{3 \times 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}\text{ birim}
Step 2 — Sağdaki ipteki toplam kısalma miktarını hesaplayalım
Sağdaki ipte 1 adet 2. tür ve 2 adet 1. tür düğüm atılmıştır:
\text{Toplam Kısalma} = \frac{7}{2} + \frac{7}{3} + \frac{7}{3} = \frac{7}{2} + \frac{14}{3}
Paydaları 6’da eşitleyelim:
\text{Toplam Kısalma} = \frac{21}{6} + \frac{28}{6} = \frac{49}{6}\text{ birim}
Step 3 — İplerin uzunlukları arasındaki bağıntıyı kuralım
Başlangıçta iplerin ikisi de eşit uzunlukta olup bu uzunluğa L diyelim:
- Soldaki ip (düğüm atılmamış): L
- Sağdaki ip (düğümlü): L - \frac{49}{6}
Soldaki ip daha uzun olduğundan, sağdaki ipin 2 katına eşittir:
L = 2 \cdot \left(L - \frac{49}{6}\right)
Step 4 — Denklemi çözerek L uzunluğunu bulalım
Parantezi dağıtalım:
L = 2L - \frac{49}{3}
\frac{49}{3} = 2L - L
L = \frac{49}{3}\text{ birim}
Soldaki ipin başlangıçtaki ve şimdiki uzunluğu \frac{49}{3} birimdir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) \frac{49}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tam Sayılı Kesirleri Bileşik Kesre Dönüştürme
- Tanım: a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c} kuralı uygulanır.
- Bu problemde: 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} ve 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2} olarak hesaplamalara dahil edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kat katsayısını yanlış tarafla çarpmak
- Yanlış: 2L = L - \frac{49}{6}
- Doğru: L = 2 \cdot \left(L - \frac{49}{6}\right)
- Neden yanlış: Düğüm atılan ip kısaldığı için küçük olan taraftır; iki tarafı eşitlemek için kısa olan ipin uzunluğu 2 ile çarpılmalıdır.
Sayfanın sol tarafındaki 9, 10, 11 veya 12. sorulardan hangisinin adım adım çözümünü görmek istersin?
@Elifnur_Umutoglu evet
Sayfanın sol tarafında yer alan 9, 10, 11 ve 12. soruların adım adım ayrıntılı çözümleri aşağıdadır:
9. Soru: \left(1 - \frac{1}{7} + \frac{1}{9}\right) - \left(2 - \frac{1}{7} + \frac{1}{9}\right) İşlemi
KULLANILAN KURAL:
Parantez önündeki eksi (-) işareti, parantezin içindeki tüm terimlerin işaretlerini değiştirerek dağıtılır:
-(a - b + c) = -a + b - c
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İkinci parantezin önündeki eksi işaretini parantez içine dağıtalım
İfadeleri payda eşitlemeden önce parantezlerden kurtaralım:
\left(1 - \frac{1}{7} + \frac{1}{9}\right) - \left(2 - \frac{1}{7} + \frac{1}{9}\right) = 1 - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - 2 + \frac{1}{7} - \frac{1}{9}
Adım 2 — Zıt işaretli aynı kesirleri sadeleştirelim
- -\frac{1}{7} + \frac{1}{7} = 0
- +\frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0
Adım 3 — Kalan tam sayıları toplayalım
1 - 2 = -1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: -1 (A Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
10. Soru: \frac{0{,}06}{0{,}2} \cdot \frac{1{,}5}{0{,}3} İşlemi
KULLANILAN KURAL:
Ondalık kesirlerde bölme işlemi yapılırken, pay ve payda virgülden kurtulmak için 10, 100 veya 1000 ile genişletilir:
\frac{a{,}b}{c{,}d} = \frac{a{,}b \times 10}{c{,}d \times 10} = \frac{ab}{cd}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Birinci kesri virgülden kurtaralım
\frac{0{,}06}{0{,}2} kesrinde payı ve paydayı 100 ile çarpalım:
\frac{0{,}06 \times 100}{0{,}2 \times 100} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}
Adım 2 — İkinci kesri virgülden kurtaralım
\frac{1{,}5}{0{,}3} kesrinde payı ve paydayı 10 ile çarpalım:
\frac{1{,}5 \times 10}{0{,}3 \times 10} = \frac{15}{3} = 5
Adım 3 — Bulunan değerleri çarpalım
\frac{3}{10} \times 5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \frac{3}{2} (A Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
11. Soru: \frac{2{,}1}{1{,}4} + \frac{0{,}6}{1{,}2} İşlemi
KULLANILAN KURAL:
Virgülden sonra eşit sayıda basamağı olan ondalık sayıların oranında virgüller doğrudan kaldırılabilir:
\frac{a{,}b}{c{,}d} = \frac{ab}{cd}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Birinci kesri sadeleştirelim
Virgülleri birer basamak sağa kaydırarak kesri yazalım ve 7 ile sadeleştirelim:
\frac{2{,}1}{1{,}4} = \frac{21}{14} = \frac{21 \div 7}{14 \div 7} = \frac{3}{2}
Adım 2 — İkinci kesri sadeleştirelim
Virgülleri birer basamak sağa kaydırarak kesri yazalım ve 6 ile sadeleştirelim:
\frac{0{,}6}{1{,}2} = \frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}
Adım 3 — İki kesri toplayalım
Paydaları eşit olduğundan payları toplayalım:
\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 2 (B Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
12. Soru: \frac{0{,}2 + 0{,}03}{0{,}5 - 0{,}04} İşlemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Ondalık sayılarda toplama ve çıkarma yapılırken virgüller alt alta gelecek şekilde basamaklar hizalanır ve eksik basamaklara 0 eklenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Pay kısmındaki toplama işlemini yapalım
0{,}20 + 0{,}03 = 0{,}23
Adım 2 — Payda kısmındaki çıkarma işlemini yapalım
0{,}50 - 0{,}04 = 0{,}46
Adım 3 — Pay ve paydayı oranlayıp sadeleştirelim
Oluşan kesir:
\frac{0{,}23}{0{,}46}
Pay ve paydayı 100 ile çarparak virgülden kurtaralım:
\frac{23}{46}
Her iki tarafı 23 ile sadeleştirelim:
\frac{23 \div 23}{46 \div 23} = \frac{1}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \frac{1}{2} (C Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Parantez Dağılma Özelliği
- Tanım: Parantezin dışındaki işaret parantez içindeki tüm terimlere uygulanır.
- Bu problemde: 9. soruda payda eşitleme zahmetinden kurtulup aynı terimlerin birbirini götürmesini sağlamıştır.
2. Ondalık Kesirleri Genişletme
- Tanım: Ondalık gösterimlerin pay ve paydası aynı 10’un katı (10, 100, 1000) ile çarpılarak tam sayıya çevrilir.
- Bu problemde: 10, 11 ve 12. sorularda işlemler tam sayılarla sadeleştirilerek sonuca hızlıca ulaşılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
9. Soruda gereksiz payda eşitlemek
- Yanlış: 7 ve 9’un ortak katını (63) arayarak uzun işlemler yapmak.
- Doğru: Parantezi dağıtarak -\frac{1}{7} + \frac{1}{7} = 0 ve +\frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0 sadeleşmelerini görmek.
- Neden yanlış: Çözüm süresini uzatır ve işlem hatası yapma riskini artırır.
Rasyonel veya ondalık sayılar konusunda pratik yapmak için benzer seviyede yeni bir soru çözmemi ister misin?
@sorumatik_uzman_bot evet
\frac{0,\bar{6} + 0,\bar{3}}{\frac{0{,}04}{0{,}2} + \frac{0{,}15}{0{,}5}} İşleminin Sonucu
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Devirli Ondalık Sayı Kuralı:0,\bar{a} = \frac{a}{9}
- Ondalık Kesirleri Sadeleştirme: Virgülden kurtarmak için kesrin pay ve paydası aynı 10’un katı (10, 100) ile çarpılır.
- Kesirlerde Bölme: Birinci kesir aynen kalır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Pay kısmındaki devirli ondalık sayıları toplayalım
Devirli sayıları rasyonel biçime çevirelim:
- 0,\bar{6} = \frac{6}{9}
- 0,\bar{3} = \frac{3}{9}
Payın toplamı:
\text{Pay} = \frac{6}{9} + \frac{3}{9} = \frac{6+3}{9} = \frac{9}{9} = 1
Adım 2 — Payda kısmındaki ondalık kesirleri sadeleştirelim
-
Birinci terim (\frac{0{,}04}{0{,}2}): Pay ve paydayı 100 ile genişletelim:
\frac{0{,}04 \times 100}{0{,}2 \times 100} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} -
İkinci terim (\frac{0{,}15}{0{,}5}): Pay ve paydayı 100 ile genişletelim:
\frac{0{,}15 \times 100}{0{,}5 \times 100} = \frac{15}{50} = \frac{3}{10}
Adım 3 — Paydadaki kesirleri toplayalım
Paydaları 10’da eşitleyelim:
\text{Payda} = \frac{1}{5} + \frac{3}{10} = \frac{2}{10} + \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
Adım 4 — Payı paydaya bölerek nihai sonuca ulaşalım
\frac{\text{Pay}}{\text{Payda}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 \times \frac{2}{1} = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Devirli Sayıların Rasyonel Gösterimi
- Tanım: 0,\bar{a} biçimindeki sayılar paydası 9 olan kesir olarak ifade edilir.
- Bu problemde: 0,\bar{6} ve 0,\bar{3} kesirlere dönüştürülerek toplamları doğrudan 1 tam elde edilmiştir.
2. Kesirli İfadelerde Genişletme
- Tanım: Ondalık sayılarda bölme yapılırken virgülden sonraki basamak sayısı fazla olan kadar 10’un katıyla pay ve payda çarpılır.
- Bu problemde: Hem 0{,}04 hem 0{,}15 ifadeleri iki basamaklı olduğundan 100 ile çarpılarak işlem kolaylaştırılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Ondalık genişletmede paydayı eksik sıfırla çarpmak
- Yanlış: \frac{0{,}04}{0{,}2} kesrinde paydayı 10 ile çarpıp \frac{4}{2} = 2 bulmak.
- Doğru: Pay 100 ile çarpıldığında payda da 100 ile çarpılmalıdır: 0{,}2 \times 100 = 20, sonuç \frac{4}{20} = 0{,}2 olur.
- Neden yanlış: Kesrin değerinin değişmemesi için pay ve payda aynı katsayı ile çarpılmalıdır.
Bu soru tarzını pekiştirmek için içinde üslü veya köklü ifade barındıran bir pratik soru daha çözmek ister misin?