D) \log 10^{-1} = x Rightarrow 10^x = 10^{-1}
Rightarrow x = -1
Rightarrow \log 10^{-1} = -1
E) \log \frac{1}{100} = x
Örnek
\log \sqrt{0,1} - \log \frac{1}{\sqrt{1000}} işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
Onluk Logaritma ve Köklü İfadelerin Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Tabanı 10 olan logaritmaya bayağı (onluk) logaritma denir ve \log_{10} x = \log x biçiminde gösterilir. Üslü ve köklü ifadeler 10^n formuna getirildiğinde \log(10^n) = n \cdot \log 10 = n kuralı uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Birinci Terimin Hesaplanması (\log \sqrt{0,1})
Karekök içindeki ondalık sayıyı rasyonel ve üslü sayı biçiminde yazalım:
0,1 = 10^{-1} \implies \sqrt{0,1} = \left(10^{-1}\right)^{\frac{1}{2}} = 10^{-\frac{1}{2}}
Buradan birinci terimin logaritma değeri:
\log \sqrt{0,1} = \log\left(10^{-\frac{1}{2}}\right) = -\frac{1}{2}
Adım 2 — İkinci Terimin Hesaplanması (\log \frac{1}{\sqrt{1000}})
Paydadaki köklü ifadeyi 10’un kuvveti cinsinden ifade edip paya alalım:
1000 = 10^3 \implies \sqrt{1000} = 10^{\frac{3}{2}} \implies \frac{1}{\sqrt{1000}} = 10^{-\frac{3}{2}}
Buradan ikinci terimin logaritma değeri:
\log\left(\frac{1}{\sqrt{1000}}\right) = \log\left(10^{-\frac{3}{2}}\right) = -\frac{3}{2}
Adım 3 — Fark İşleminin Yapılması
Bulunan değerleri verilen çıkarma işleminde yerine yazalım:
\log \sqrt{0,1} - \log \frac{1}{\sqrt{1000}} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1
(Not: Sayfanın üst kısmındaki e maddesi için: \log \frac{1}{100} = \log(10^{-2}) = -2 olur.)
CEVAP: 1
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Logaritma farkı kuralı olan \log a - \log b = \log\left(\frac{a}{b}\right) özelliği kullanılarak ifade tek bir logaritma altında \log\left(\sqrt{0,1} \cdot \sqrt{1000}\right) = \log\sqrt{100} = \log 10 = 1 şeklinde de tek adımda pratikçe çözülebilir.
@Akademik_Rehber anlatmadan cöz
\log \sqrt{0,1} - \log \frac{1}{\sqrt{1000}}
= \log\left(\frac{\sqrt{0,1}}{\frac{1}{\sqrt{1000}}}\right)
= \log\left(\sqrt{0,1} \cdot \sqrt{1000}\right)
= \log\left(\sqrt{0,1 \cdot 1000}\right)
= \log\sqrt{100}
= \log 10
= 1
@Akademik_Rehber 12. sınıd düzeyinde cöz
12. Sınıf Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
12. sınıf MEB müfredatında yer alan logaritma özellikleri:
- \log_a (x^n) = n \cdot \log_a x
- \log(a) - \log(b) = \log\left(\frac{a}{b}\right)
- \log 10 = 1
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İfadeleri 10 Tabanında Rasyonel Üs Olarak Yazma
Kök derecesi ve üslü sayı kurallarını (\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}) uygulayalım:
\sqrt{0,1} = \sqrt{10^{-1}} = 10^{-\frac{1}{2}}
\frac{1}{\sqrt{1000}} = \frac{1}{\sqrt{10^3}} = \frac{1}{10^{\frac{3}{2}}} = 10^{-\frac{3}{2}}
Adım 2 — Logaritmanın Kuvvet Kuralını Uygulama
\log(10^n) = n \cdot \log 10 = n özelliğini kullanarak her iki terimin değerini hesaplayalım:
\log\sqrt{0,1} = \log\left(10^{-\frac{1}{2}}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \log 10 = -\frac{1}{2}
\log\left(\frac{1}{\sqrt{1000}}\right) = \log\left(10^{-\frac{3}{2}}\right) = -\frac{3}{2} \cdot \log 10 = -\frac{3}{2}
Adım 3 — Değerleri Yerine Koyup İşlemi Tamamlama
Bulunan değerler arasındaki farkı alalım:
\log \sqrt{0,1} - \log \frac{1}{\sqrt{1000}} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1
CEVAP: 1
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Yazılı sınavlarında klasik puanlamada tam puan almak için köklü ifadelerin rasyonel üsse çevrilme adımları (10^{-\frac{1}{2}} ve 10^{-\frac{3}{2}}) ve \log 10 = 1 bağıntısı açıkça gösterilmelidir.
@Akademik_Rehber anlatmadan cöz
\log\sqrt{0,1} = \log\sqrt{10^{-1}} = \log\left(10^{-\frac{1}{2}}\right) = -\frac{1}{2}\log 10 = -\frac{1}{2}
\log\frac{1}{\sqrt{1000}} = \log\frac{1}{\sqrt{10^3}} = \log\left(10^{-\frac{3}{2}}\right) = -\frac{3}{2}\log 10 = -\frac{3}{2}
\log\sqrt{0,1} - \log\frac{1}{\sqrt{1000}} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1