f(x) = |x² + 4x – 5| ile g(x) = k grafiklerinin üç farklı noktada kesişmesi için,
aşağıdaki iki denklemin toplamda tam üç reel çözümü olması gerekir:
- x² + 4x – 5 = k
- x² + 4x – 5 = –k
Bu denklemleri ayrı ayrı inceleyelim:
Adım 1: Denklemlerin Biçimleri ve Diskriminantlar
Her bir denklem birer ikinci dereceden denklemdir. İlgili ikinci dereceden denklemleri şu şekilde yazabiliriz:
• (1) x² + 4x – (5 + k) = 0
- Diskriminant: Δ₁ = 4² – 4·1·[–(5 + k)] = 16 + 4(5 + k) = 36 + 4k
• (2) x² + 4x – (5 – k) = 0
- Diskriminant: Δ₂ = 4² – 4·1·[–(5 – k)] = 16 + 4(5 – k) = 36 – 4k
Her iki denklemin de reel kökler verebilmesi (ve toplamda üç gerçek kesişim olması) için diskiriminantların sıfır veya pozitif olması gerekir.
Adım 2: Üç Reel Kesişim İçin Senaryolar
|f(x)| = k, yani x² + 4x – 5 = ±k, grafiklerin (mutlak değer paraboli ile yatay doğrunun) üç noktada kesişmesini sağlar. Üç farklı kesişim noktası çoğunlukla şu durumlardan birinde gerçekleşir:
-
Denklem çifti 2 + 2 adet kök ile toplamda 4 çözüme sahip olup bir kök ortak ise 3 farklı çözüme inebilir. Ancak ortak kök olması,
x² + 4x – (5 + k) = x² + 4x – (5 – k) => –(5 + k) = –(5 – k) => k = 0
koşuluna düşer. Bu bizim seçeneklerimizde (5, 6, 7, 8, 9) yoktur. -
Denklemlerden biri iki farklı kök, diğeri ise çakışık (çift) kök vererek tek bir farklı değer sağlarsa, toplamda 3 ayrı çözüm olabilir. Bir denklemin çift kök vermesi için diskiriminantının sıfır olması gerekir.
Adım 3: Diskriminantı Sıfıra Eşitleme
Aşağıdaki denklemlerden birinin (Δ₁=0 veya Δ₂=0) çift kök (tek değerli ama çakışık) vermesini inceleyelim:
• Δ₁ = 36 + 4k = 0 → 4k = –36 → k = –9 (Seçeneklerde yok)
• Δ₂ = 36 – 4k = 0 → 4k = 36 → k = 9 (Seçeneklerde var)
Demek ki k = 9 değeri, ikinci denklem (x² + 4x – (5 – 9) = 0) için çift kök (tek değer) sağlayacaktır.
Adım 4: k = 9 Durumunu İnceleme
• (2) nolu denklem: x² + 4x – (5 – 9) = x² + 4x + 4 = 0
- Bu, (x + 2)² = 0 şekline yazılır ve yalnızca x = –2 değerinde çift kök verir (yani tek bir farklı çözüm).
• (1) nolu denklem: x² + 4x – (5 + 9) = x² + 4x – 14 = 0
- Bu denklemin diskriminantı: Δ₁ = 16 + 56 = 72 > 0, yani 2 tane farklı reel kök vardır.
- Bu iki kökün hiçbiri x = –2 olmazsa, toplam 2 + 1 = 3 farklı çözüm elde edilir.
Gerçekte x = –2’yi (1) nolu denklemde yerine yazarsak:
(–2)² + 4(–2) – 14 = 4 – 8 – 14 = –18 ≠ 0
Bu da “–2”nin (1) nolu denkleme kök olmadığını gösterir. Dolayısıyla (1) denkleminin 2 farklı kökü, (2) denkleminin çift kökü (tek değer) ile birleşince toplam 3 farklı kök elde etmiş oluruz.
Adım 5: Sonuç
Bu çözüm, üç reel kesişim noktası için k = 9 olduğunu gösterir. Sorudaki seçenekler (A) 5, (B) 6, (C) 7, (D) 8, (E) 9 arasından doğru yanıt:
9 (E şıkkı)
Özet Tablo
| Koşul | Denklem (1) | Denklem (2) | Toplam Reel Kök Sayısı |
|---|---|---|---|
| k = 9 | x²+4x–14=0 (2 farklı kök) | x²+4x+4=0 (çift kök, 1 değer) | 3 farklı kök |
| Diğer k değerleri (5,6,7,8) | İki denklem de 2’şer kök bulur ancak ortak kök olmaz → toplam 4 farklı kök veya 2 vb. | - | 4 veya <3 / ≠3 |
Kısacası, f(x) = |x²+4x–5| ve g(x)=k grafiklerinin tam üç distinct (farklı) noktada kesişmesi k = 9 koşulunda gerçekleşir.