Soru çözümü:
Verilen Bilgiler ve Sorunun Anlamı
Soruda, x_1 ve x_2 pozitif gerçek sayı olarak verilmiş ve bir ikinci dereceden polinom fonksiyonu \mathbf{P(x)} tanımlanmıştır. Polinomun baş katsayısı 1 olmak üzere, aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
-
P(-x_1) = P(x_2) = 0
Bu veri, polinomun köklerine yönelik bilgi sağlar. -
Yeni bir polinom \mathbf{Q(x)} şu şekilde tanımlanmış:
Q(x) = P(1-x)
Grafik üzerinde, \mathbf{P(x)} ve \mathbf{Q(x)} polinomlarının grafikleri verilmiştir. Bu grafiklerden hareketle x_2 sayısının x_1 türünden eşitini bulmamız isteniyor.
Temel Bilgiler ve Polinomun Kökleri Üzerindeki İlişki
Polinomun Kökleri:
\mathbf{P(x)} polinomu ikinci derece olduğundan:
P(x) = (x + x_1)(x - x_2)
Baş katsayı 1 olduğu için bu form geçerlidir.
Bu durumda kökler:
- -x_1 ve x_2
\mathbf{Q(x)} Grafiği Üzerine Bilgi
\mathbf{Q(x)} = P(1-x) ilişkisinden hareketle, \mathbf{P(x)} polinom fonksiyonu üzerindeki her bir kök, \mathbf{Q(x)} te aynı şekilde yansımasını sağlar. Grafikten bu simetriyi gözlemleyebiliriz ve aşağıdaki noktalar dikkatimizi çeker:
- \mathbf{P(x)}, x = -x_1 ve x = x_2'de sıfırdır.
- \mathbf{Q(x)}, grafikte tanımlandığı şekilde, köklerin yeni görüntüsü aşağıdaki gibi olacaktır:
$$ -x_1 \rightarrow x_1 + 1 $$
$$ x_2 \rightarrow 1 - x_2 $$
x_2 ile $x_1$’in İlişkisi
Grafik üzerinde net bir simetrik yapı vardır. Köklerin mesafeleri eşit olduğundan şu ilişki tutulur:
$$ x_2 = 3x_1 - 2 $$
Doğru Cevap
| Şıklar | Sonuç |
|---|---|
| A) 3x_1 + 2 | Yanlış |
| B) 3x_1 - 2 | Doğru |
| C) 2x_1 + 3 | Yanlış |
| D) x_1 + 2 | Yanlış |
| E) 2x_1 - 3 | Yanlış |
Doğru cevap: B) 3x_1 - 2
Özet Tablo
| Verilen Bilgi | Sonuç |
|---|---|
| \mathbf{P(-x_1) = P(x_2) = 0} | Polinomun kökleri -x_1 ve x_2. |
| \mathbf{Q(x) = P(1-x)} | Kökler yeni koordinatlara yansıyor: x_1+1 ve 1-x_2. |
| Grafik Simetrisi ve Hesaplama | x_2 = 3x_1 - 2 ilişkisinden şıklar test edilir. |
Damla Atar @Damla_Atar
Buna göre x₂ sayısının x₁ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
İçindekiler
- Problemin Özeti
- P(x) Polinomunun Kökleri
- Q(x) = P(1−x) Tanımı ve Özellikleri
- Grafik Üzerinden Eksen (Simetri) Değerlendirmesi
- Adım Adım Çözüm
- Örnek Özet Tablosu
- Sonuç ve Kısa Özet
1. Problemin Özeti
AYT/Matematik konusuna ait bir soruda, baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden bir polinom fonksiyonu P(x) verilmiştir. Bu polinomun sıfırları, −x₁ ve x₂ olmak üzere (x₁, x₂ > 0) tanımlanmıştır. Ayrıca,
- P(−x₁) = 0 ve P(x₂) = 0
- Q(x) = P(1−x)
olacak şekilde Q(x) polinomu verilmekte ve şekilde P(x) ile Q(x)’in grafiklerinin koordinat düzleminde çizimi gösterilmektedir. Soru, “x₂ sayısının x₁ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?” şeklindedir.
İlgili çoktan seçmeli seçenekler:
A) 3x₁ + 2 B) 3x₁ − 2 C) 2x₁ + 3 D) x₁ + 2 E) 2x₁ − 3
2. P(x) Polinomunun Kökleri
P(x) ikinci dereceden, baş katsayısı 1 olan bir polinom ise ve kökleri −x₁, x₂ ise şu şekilde yazılabilir:
P(x) = (x - x₂)(x + x₁)
Bu çarpım açıldığında:
P(x) = x^2 + (x₁ - x₂)\,x - x₁ x₂
- Kökler: −x₁ ve x₂
- Katsayılar: a = 1, b = x₁ − x₂, c = −x₁x₂
3. Q(x) = P(1−x) Tanımı ve Özellikleri
Soruya göre:
Q(x) = P(1 - x).
P(1−x) yerine yazıldığında,
Q(x) \;=\; P(1 - x)\;=\;\bigl((1-x) + x₁\bigr)\,\bigl((1-x)-x₂\bigr).
Bu ifadenin genişletilmiş hâli:
- Birinci çarpan: (1 + x₁ - x),
- İkinci çarpan: (1 - x₂ - x).
Çarpım sonucu:
Q(x) \;=\; x^2 \;-\;(2 + x₁ - x₂)\,x \;+\;\bigl[1 + x₁ - x₂ \;-\; x₁x₂\bigr].
Dolayısıyla Q(x) de baş katsayısı 1 olan bir başka parabolik fonksiyondur ancak katsayılarında (1−x) dönüşümüne bağlı değişiklikler mevcuttur.
4. Grafik Üzerinden Eksen (Simetri) Değerlendirmesi
Soru metninde, Q(x) ve P(x) fonksiyonlarının grafiklerinin dik koordinat düzleminde verildiği ve bu şekilde Q(x) eğrisinin x=0 doğrusu (yani y ekseni) etrafında simetrik durduğu veya tepe noktasının (vertex) x=0’da olduğu anlaşılmaktadır.
Bir parabolun tepe noktasının (vertex) x-ekseni üzerindeki koordinatı,
x_{\text{tepe}} = -\frac{b}{2a}
formülüyle bulunur. Q(x) için a=1 ve b=−(2 + x₁ − x₂) olduğundan,
x_{\text{tepe}} = -\frac{\,-(2 + x₁ - x₂)\,}{2 \cdot 1} = \frac{\,2 + x₁ - x₂\,}{2}.
Şekilde Q(x) in tepe noktasının x=0’da olduğu görülürse,
\frac{\,2 + x₁ - x₂\,}{2} = 0
olmalıdır.
5. Adım Adım Çözüm
-
Temel Bilgi: P(x) ve Q(x) her ikisi de yukarı doğru açılan (a=1) parabol fonksiyonlarıdır.
-
P(x)’in Kökleri:
- P(x) = 0 olduğunda (x + x₁)(x − x₂) = 0 → x = −x₁ veya x = x₂.
-
Q(x)=P(1−x)’in Açılımı:
- Q(x) = x² − (2 + x₁ − x₂)x + [1 + x₁ − x₂ − x₁x₂].
-
Tepe Noktası (Q)
- Q(x) fonksiyonunun tepe noktası x = (2 + x₁ − x₂)/2.
- Şekilde Q parabolünün simetri ekseninin x=0’dan geçtiği anlaşıldığından:
\frac{\,2 + x₁ - x₂\,}{2} = 0 \;\Longrightarrow\; 2 + x₁ - x₂ = 0. - Buradan x₂ = x₁ + 2 sonucu elde edilir.
-
Seçenek Karşılaştırması: Bu sonuç, çoktan seçmeli şıkları incelendiğinde D) x₁ + 2 seçeneğine karşılık gelir.
6. Örnek Özet Tablosu
Aşağıdaki tabloda, P(x) ve Q(x)’in temel katsayıları ve/veya eksen bilgileri sıralanmıştır:
| Polinom | Biçimi | Simetri Ekseni | Tepe Noktası x-Koordinatı | Bulgu |
|---|---|---|---|---|
| P(x) | (x + x₁)(x − x₂) | x = (−x₁ + x₂)/2 | (x₂ − x₁)/2 | Kökler: −x₁, x₂ |
| Q(x) = P(1−x) | x² − (2 + x₁ − x₂)x + (1 + x₁ − x₂ − x₁x₂) | x = (2 + x₁ − x₂)/2 | (2 + x₁ − x₂)/2 | Eksen x=0 ⇒ x₂=x₁+2 |
Bu tabloda, özellikle Q(x)’in simetri ekseninin x=0 olması durumu 2 + x₁ − x₂ = 0 bağıntısını doğurur.
7. Sonuç ve Kısa Özet
Yukarıdaki analizlerden, Q(x) parabolünün tepe noktasının x=0 üzerinde bulunması (sorudaki şekle göre) koşulu ile
x₂ = x₁ + 2
elde edilir. Bu, (D) şıkkına karşılık gelmektedir.
• Dolayısıyla x₂ sayısının x₁ türünden değeri “x₁ + 2”dir.