8 SIN
L Agaga
rg kartn On wan san arka vouo nmM rbldr, anr ununkukn 15 om ve 4n om on doanga
an casun
u
kart uçlanndan birer knz kendi eriog katianditunda Bek rded oN H tr mavt didrtgen br ta
sekil l’dek san dikdáetganilo gekil l’dgkd sar dikdörtgen birbiige banzer olvğuna gôre, Sekll ilrdeld mavi dikdbrigenler
Sen birdnin ceke uunlugu kag santimotredi
dr. Du hadet tshnsana ysplan ahyland
(1ve 2
bhI) saylie y
Apagdaki hedett n elr wanuim!
waml en n b i ihndel tohtesna vwoikdan oc instbetl abwn herbirrde farkh böloeleri vugtur. Kaml alnalacEk on
yůKsek ve Tank alnablecak on dügak puan aimitr.
kaçtr
urulan bolgeer
sayiar kadar puan alındıgına gire, Kamil ve Tarikin aldiklartoplam puaniar arasındaki fark
Dikdörtgenlerde Benzerlik ve Katlama Sorusu Çözümü
Görseldeki 13. soruda, bir kağıdın katlanmasıyla oluşan yeni şekiller arasındaki benzerlik ilişkisini kullanarak mavi dikdörtgenlerden birinin çevre uzunluğunu bulmamız isteniyor.
[KULLANILAN FORMÜL:]
- Dikdörtgenin Alanı: Kısa\ Kenar \times Uzun\ Kenar
- Dikdörtgenin Çevresi: 2 \times (Kısa\ Kenar + Uzun\ Kenar)
- Benzerlik Oranı: İki dikdörtgen benzer ise, karşılıklı kenarlarının oranları birbirine eşittir.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Şekil I’deki Dikdörtgenin Analizi
Şekil I’deki sarı dikdörtgenin kenar uzunlukları 15\ cm ve 45\ cm olarak verilmiştir. Bu dikdörtgenin kısa kenarının uzun kenarına oranı:
\frac{15}{45} = \frac{1}{3}
Adım 2 — Şekil II’deki Sarı Dikdörtgenin Boyutlarını Belirleme
Kağıt her iki uçtan içeri doğru katlandığında, Şekil II’nin ortasında yeni bir sarı dikdörtgen oluşur. Soruda Şekil I’deki sarı dikdörtgen ile Şekil II’deki sarı dikdörtgenin benzer olduğu belirtilmiştir.
Şekil II’deki sarı dikdörtgenin yüksekliği (kısa kenarı) değişmeyerek 15\ cm kalmıştır. Benzerlik oranının sağlanması için bu yeni dikdörtgenin kenarları arasındaki oran da 1/3 olmalıdır. Ancak yükseklik 15\ cm olduğuna göre, bu sefer genişlik daha küçük olmalıdır (çünkü kağıt katlanarak daraldı).
\frac{Genişlik}{15} = \frac{1}{3} \implies Genişlik = 5\ cm
Dolayısıyla, Şekil II’deki sarı bölgenin kenarları 15\ cm ve 5\ cm’dir.
Adım 3 — Mavi Dikdörtgenlerin Kenar Uzunluklarını Bulma
Kağıdın toplam uzunluğu 45\ cm’ydi. Ortadaki sarı bölgeye 5\ cm kaldığına göre, her iki yandaki mavi kısımların ve onların altındaki katlanmış kısımların toplam uzunluğu:
45 - 5 = 40\ cm
Bu 40\ cm, iki adet mavi bölge ve bu bölgelerin altına katlanan kısımlardan oluşur. Bir kağıdı katladığınızda, görünen mavi kısmın genişliği kadar kağıt da altta kalır. Yani 40\ cm, toplamda 4 eşit parçaya bölünmüştür (2 tane görünen mavi, 2 tane altta kalan sarı kısım).
Mavi dikdörtgenin genişliği (x):
4x = 40 \implies x = 10\ cm
Bu durumda mavi dikdörtgenlerin kenarları 15\ cm ve 10\ cm’dir.
Adım 4 — Mavi Dikdörtgenin Çevresini Hesaplama
Kenarları 15\ cm ve 10\ cm olan bir mavi dikdörtgenin çevre uzunluğu:
Çevre = 2 \times (15 + 10)
Çevre = 2 \times 25 = 50\ cm
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] 50 cm (B Şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Benzerlik
- [Tanım:] İki şeklin kenarları arasındaki oranın aynı olması durumudur.
- [Bu problemde:] Şekil I’deki 15/45 oranı, Şekil II’deki sarı bölgede 5/15 oranı olarak karşımıza çıkmıştır.
2. Katlama Geometrisi
- [Tanım:] Bir kenar katlandığında, katlanan uzunluk kadar mesafe toplam uzunluktan eksilir.
- [Bu problemde:] Mavi kısımların altına giren kağıt parçaları, mavi kısımlarla aynı genişliktedir.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Katlanan Kısmı Unutmak
- [Yanlış:] Kalan 40\ cm mesafeyi sadece ikiye bölüp mavi kenarı 20\ cm bulmak.
- [Doğru:] Katlama çift katlı olduğu için mesafeyi dörde bölmek gerekir.
- [Neden yanlış:] Kağıt katlandığında üst üste bindiği için her mavi bölüm aslında orijinal kağıdın iki katı kadar uzunluk kaplar.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir benzerlik sorusu çözmemi ister misin?
- soruyu da çöz
Hedef Tahtasında Puan Farkı Sorusu Çözümü
Görseldeki 14. soruda, Kamil ve Tarık’ın hedef tahtasına yaptıkları atışlar sonucunda aldıkları toplam puanlar arasındaki farkı bulmamız isteniyor.
[KURAL / FORMÜL KULLANIMI:]
- Puan Hesaplama: İsabet ettirilen her bölgedeki sayı, o atıştan alınan puandır.
- Asal Çarpan Sayısı: Bir sayıyı kalansız bölen asal sayılar (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…).
- Şart: İsabet edilen her bölgenin yalnızca bir tane asal çarpanı olmalıdır.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Şartı Sağlayan Sayıları Belirleme
1’den 20’ye kadar olan sayılardan “bir tane asal çarpanı olanları” bulmalıyız. Bunlar asal sayıların kendileri veya bir asal sayının kuvvetleridir:
- 2 (Asal: 2)
- 3 (Asal: 3)
- 4 (2^2)
- 5 (Asal: 5)
- 7 (Asal: 7)
- 8 (2^3)
- 9 (3^2)
- 11 (Asal: 11)
- 13 (Asal: 13)
- 16 (2^4)
- 17 (Asal: 17)
- 19 (Asal: 19)
(Not: 1’in asal çarpanı yoktur. 6, 10, 12, 14, 15, 18, 20 gibi sayıların iki veya daha fazla farklı asal çarpanı vardır, bu yüzden seçilemezler.)
Adım 2 — Kamil’in Alabileceği En Yüksek Puanı Hesaplama
Kamil en yüksek puanı almak için listedeki en büyük 3 farklı sayıyı vurmalıdır:
- Atış 1: 19
- Atış 2: 17
- Atış 3: 16
- Toplam (Kamil): 19 + 17 + 16 = 52 puan.
Adım 3 — Tarık’ın Alabileceği En Düşük Puanı Hesaplama
Tarık en düşük puanı almak için listedeki en küçük 3 farklı sayıyı vurmalıdır:
- Atış 1: 2
- Atış 2: 3
- Atış 3: 4
- Toplam (Tarık): 2 + 3 + 4 = 9 puan.
Adım 4 — Puan Farkını Bulma
Kamil ve Tarık’ın toplam puanları arasındaki fark:
- Fark = 52 - 9 = 43
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] 43 (A Şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Asal Çarpan
- [Tanım:] Bir sayıyı bölen asal sayılardır.
- [Bu problemde:] Sadece tek bir asal sayının katı veya kuvveti olan sayıları seçmemiz istendi (Örn: 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 olduğu için sadece ‘2’ asal çarpanına sahiptir).
[SIK YAPILAN HATALAR:]
1 Sayısını Dahil Etmek
- [Yanlış:] Tarık için 1, 2, 3 sayılarını seçmek.
- [Doğru:] 1 sayısının asal çarpanı yoktur (asal değildir), bu yüzden kurala uymaz.
- [Neden yanlış:] Soruda “bir tane asal çarpanı olan” dendiği için çarpanı olmayan sayı elenir.
İki Asal Çarpanlı Sayıları Seçmek
- [Yanlış:] 20 (2 ve 5 çarpanı var) veya 15 (3 ve 5 çarpanı var) sayılarını büyük diye seçmek.
- [Doğru:] Sadece tek çeşit asal çarpanı olanlar seçilmeli.
Anlamadığın bir kısım oldu mu? Başka bir soruda takıldığın yer varsa sormaktan çekinme!
@Azra_Akiturk 14. soru
Görseldeki 14. sorunun detaylı adım adım çözümünü aşağıda bulabilirsin:
Hedef Tahtasında Puan Farkı Sorusu Çözümü
Bu soruda temel amacımız, 1’den 20’ye kadar olan sayılar arasından “yalnızca bir tane asal çarpanı olan” sayıları tespit etmek ve bu sayılarla en yüksek ve en düşük puanları oluşturmaktır.
[KURAL / FORMÜL KULLANIMI:]
- Asal Sayı: Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen 1’den büyük sayılardır (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, \dots).
- Bir Asal Çarpanı Olan Sayılar: Ya bir asal sayının kendisidir ya da bir asal sayının tam kuvvetidir (2^1, 2^2, 3^2, 5^3 gibi).
- Puan Şartı: Vurulan her bölgedeki sayının yalnızca bir adet asal çarpanı olmalıdır.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Şartı Sağlayan Sayı Listesini Oluşturma
1’den 20’ye kadar olan sayıları inceleyelim:
- 1: Asal çarpanı yoktur (Elendi).
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19: Hepsi asaldır ve birer tane asal çarpanları vardır. (Seçildi).
- 4: 2^2 (Sadece 2 çarpanı var - Seçildi).
- 8: 2^3 (Sadece 2 çarpanı var - Seçildi).
- 9: 3^2 (Sadece 3 çarpanı var - Seçildi).
- 16: 2^4 (Sadece 2 çarpanı var - Seçildi).
- Diğerleri: 6 (2 \times 3), 10 (2 \times 5), 12 (2^2 \times 3), 14 (2 \times 7), 15 (3 \times 5), 18 (2 \times 3^2), 20 (2^2 \times 5) sayılarının ikişer adet farklı asal çarpanı vardır. (Elendi).
Uygun Sayı Kümemiz: \{2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19\}
Adım 2 — Kamil’in En Yüksek Puanını Hesaplama
Kamil en yüksek puan için kümedeki en büyük 3 farklı sayıyı vurur:
- 19 + 17 + 16 = 52 puan.
Adım 3 — Tarık’ın En Düşük Puanını Hesaplama
Tarık en düşük puan için kümedeki en küçük 3 farklı sayıyı vurur:
- 2 + 3 + 4 = 9 puan.
Adım 4 — Aradaki Farkın Bulunması
İki arkadaşın aldıkları puanlar arasındaki fark:
- 52 - 9 = 43
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] 43 (A Şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Tek Asal Çarpanlı Sayılar
- [Tanım:] p^n (p asal, n pozitif tam sayı) formundaki sayılardır.
- [Bu problemde:] Örneğin 16 sayısı sadece 2’ye bölündüğü için (asal olarak) tek çarpanlıdır, ancak 6 sayısı hem 2 hem 3’e bölündüğü için çift çarpanlıdır.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
1 Sayısını Hesaba Katmak
- [Yanlış:] En küçük puan için 1, 2, 3 toplamak.
- [Doğru:] 1’in asal çarpanı olmadığı için “bir tane asal çarpanı olan” şartına uymaz.
- [Neden yanlış:] Tanım gereği en küçük asal sayı 2’dir.
20 Sayısını En Büyük Seçmek
- [Yanlış:] Kamil için 20, 19, 17 sayılarını seçmek.
- [Doğru:] 20’nin içinde hem 2 hem 5 asalları olduğu için kural dışıdır.
Bu çözümde kafana takılan, “neden şu sayıyı almadık?” dediğin bir yer var mı?