Problem in the Question
Given the parabola equation y = -x^2 + 5x and assuming that the electric pole at point C makes a 45^\circ angle due to the wind, you need to determine the ordinate (y-coordinate) of the nearest point on the tunnel modeled by the parabola equation.
Solution Process
1. Equation of the parabola:
The parabola is given as:
This parabola opens downward because the coefficient of x^2 is negative.
2. Find the slope of the tangent line at point C:
A line making a 45^\circ angle must have a slope of m = -1, since the slope corresponds to \tan(45^\circ).
3. Find the equation of the tangent at point C:
The derivative of the parabola equation gives the slope m of the curve at any point. Differentiating the equation:
At point C, the slope of the tangent line should be m = -1.
So, equate:
Solve for x:
Thus, x = 3 is the x-coordinate of point C.
4. Find the y-coordinate of point C:
Substitute x = 3 into the parabola equation:
So, the coordinates of point C are (3, 6).
5. Determine the nearest ordinate:
Since the electric pole intersects the tunnel at point C, the nearest ordinate on the tunnel is simply the y-coordinate of point C, which is 6.
Final Answer
The ordinate of the nearest point is:
A) 6
Let me know if you’d like further clarification! 
@username
Soru:
Yukarıdaki şekilde,
y = −x² + 5x
parabolü ile modellenen tünelde aynı yatay (zemin) üzerindeki C noktasında bulunan elektrik direği rüzgârın etkisiyle yere 45°’lik bir açı yapıyor. Buna göre, bu 45°’lik doğruya en yakın (parabol üzerindeki) noktanın ordinatı (y değeri) kaçtır?
Cevap:
45°’lik bir eğim, eğim (tabanına göre) = tan 45° = 1 anlamına gelir. C noktasının (örneğin x=4, y=0) olduğunu varsayarsak doğru denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir:
• Zemin (x-ekseni) üzerinde C(4, 0) noktası olsun.
• 45° eğimle sağa doğru yükselen doğrunun denklemi:
y = (x − 4) (eğim 1, x=4’ten geçer).
Parabol üzerindeki (x, −x² + 5x) noktası ile bu doğru arasındaki en kısa uzaklığın olduğu yerde, o noktanın doğruya çizilen dikme ayağı (yani en yakın nokta) o doğruya dik olur. Analitik olarak en kestirme yaklaşım, noktadan doğruya olan uzaklığın türevini sıfıra eşitleyerek en küçük uzaklığı bulmaktır.
-
Parabol:
y = −x² + 5x -
Doğru:
y = x − 4
ya da
x − y − 4 = 0 -
(x, y) = (x, −x² + 5x) noktası ile x − y − 4 = 0 doğrusunun uzaklığı:
D =
|x − (−x² + 5x) − 4|
/
√(1² + (−1)²)|x + x² − 5x − 4|
/
√2|x² − 4x − 4|
/
√2Burada f(x) = x² − 4x − 4 ifadesinin mutlak değerini minimize etmemiz gerekir.
-
f(x)’in normal (işaretsiz) minimumunu bulmak için türevini alırız:
f’(x) = 2x − 4 = 0 ⟹ x = 2.x=2 bulununca f(2) = (2)² − 4·2 − 4 = 4 − 8 − 4 = −8.
Dolayısıyla |f(2)| = 8, bu da fonksiyonun mutlak değer anlamında en küçük değer noktasını verir. -
x=2 ise paraboldeki y değeri:
y = −(2)² + 5·2 = −4 + 10 = 6.
Dolayısıyla, doğruya (45°’lik) en yakın parabol noktası (2, 6) olup en yakın noktadaki ordinat = 6 bulunur.
Cevap şıklardan 6 (A) olacaktır.
@username
Türkçe diline çevir
Soru:
Yukarıdaki şekilde,
y = −x^2 + 5x
parabolü ile modellenen tünelde aynı yatay (zemin) üzerindeki C noktasında bulunan elektrik direği rüzgârın etkisiyle yere 45°’lik bir açı yapıyor. Buna göre, bu 45°’lik doğruya en yakın (parabol üzerindeki) noktanın ordinatı (y değeri) kaçtır?
Cevap:
Elektrik direğinin yere yaptığı 45° açı, doğru eğiminin m = \tan(45°) = 1 olduğu anlamına gelir. Şimdi doğru denklemini ve parabole en yakın noktayı hesaplayalım:
1. Parabolün denklemi:
Parabol şu şekilde verilmiş:
$$ y = -x^2 + 5x $$
2. Doğru denklemi:
Elektrik direğinin bulunduğu noktayı C(4, 0) olarak kabul edersek, eğimi 1 olan doğru denklemi:
$$ y = x - 4 $$
veya
$$ x - y - 4 = 0 $$ şeklinde yazılabilir.
3. Noktadan doğruya olan uzaklık:
Parabol üzerindeki herhangi bir nokta, (x, -x^2 + 5x)'dir. Bu noktanın “doğruya olan uzaklığı” şu formülle hesaplanır:
Burayı düzenlersek:
Burada, f(x) = x^2 - 4x - 4 ifadesinin mutlak değerini minimize etmemiz gerekiyor.
4. Minimum uzaklığı bulmak için türev alma:
f(x) fonksiyonunun minimumunu bulmak için türevini alıp sıfıra eşitliyoruz:
Buradan:
5. x = 2 noktasının parabol üzerindeki y değeri:
x = 2'yi parabolun denklemine tekrar yerine koyarsak:
Dolayısıyla parabol üzerindeki doğruya en yakın nokta (2, 6)'dır. En yakın noktadaki ordinat (y değeri): 6 bulunur.
Sonuç:
Cevap A) 6 olacaktır.
@username
yukarıdaki soruda istenen “en yakın nokta”nın ordinatı nedir?
Cevap:
Aşağıdaki adımları izleyerek yapılan analizin sonucunda, parabolla (tünel) ile $45^\circ$’lik açı yapan doğru arasında tünel üzerindeki “en yakın nokta”nın ordinatı 4 olarak bulunur.
Geniş Açıklama ve Çözüm Adımları
Bu problemde elimize verilen parabola:
şeklindedir. Grafik üzerinde A ve B noktaları sırasıyla x eksenini kesen noktaları (yani y=0 olduğu kesişimler) belirtir. Sorunun görselinde ayrıca B noktasının sağında C isimli bir nokta bulunmaktadır ve bu noktadan (C) “elektrik direği” adı verilen bir doğru, yatayla $45^\circ$’lik bir açı yapmakta ve tünel (parabola) üzerine en yakın olduğu noktayı sorgulamaktadır.
Soruda istenen:
- “C noktasında bulunan elektrik direğinin tünel üzerinde bulunan noktalardan en yakın olanının ordinatı kaçtır?”
Bu ifade, pratikte şu anlama gelir:
- C noktasından çıkan, yatayla $45^\circ$’lik açı yapan doğrunun denklemini bul (veya tahmin et).
- Bu doğru ile parabola arasındaki en kısa mesafe hangi noktada oluşuyorsa, oradaki y değerini (ordinat) tespit et.
- Seçeneklerde (A) 6, (B) 5, (C) 4, (D) 3, (E) 2 gibi değerler verilmiştir. Analiz neticesinde bu değerin 4 olduğu bulunur.
1. Parabolayı Tanıma
Elimizdeki parabola:
şeklindedir. Bu parabolanın bazı temel özelliklerini inceleyelim.
1.1. Parabolanın Kökleri (A ve B Noktaları)
Parabolanın x eksenini kestiği noktalar (yani y=0 olduğu durumlar) şu şekilde bulunur:
Dolayısıyla, kesişim noktaları:
- A=(0,\, 0)
- B=(5,\, 0)
Bu da görseldeki tünelin tabanda (yerde) x=0 ve x=5 arasında yayıldığını ifade eder.
1.2. Tepe Noktası (Tepe Değeri)
Bir parabolanın tepe (vertex) noktası, y=ax^2+bx+c biçimindeyse x-koordinatı
formülüyle bulunur. Burada a=-1, b=5 olduğuna göre:
Bu x değerine karşılık gelen y değeri:
Dolayısıyla parabolanın tepe noktası
noktasındadır. Bu bilginin, ileride “tünelin yüksekliği” veya seviye analizinde yararı olabilir, ancak burada asıl amacımız, $45^\circ$’lik doğruya en yakın noktayı bulmaktır.
2. $45^\circ$’lik Doğruya Dair Yorum
Şekilde, C noktasında (ki bu nokta $B$’nin sağında yer almaktadır) yatayla 45^\circ açı yapan bir elektrik direği çizilmiştir. Genellikle, “yatayla 45^\circ açı yapmak” ifadesi, bu doğrunun eğiminin (slope) \pm 1 olduğu anlamına gelir. Şekilde direğin sola doğru eğildiği gözükmektedir; yatay düzgün bir doğru düşünürsek, x ekseninde 5 noktasından (yani (5,0)) sağa doğru ilerleyip, direk soldan sağa negatif eğimle çizilmiş olabilir.
Ancak bu tip sorularda yaygın yaklaşım, C noktasının (5,\, 0) veya (c, 0) gibi bir yer olduğunu varsayarak, direğin denkleminin y=-\left(x-5\right) ya da y=-x+5 gibi bir formda ele alınmasıdır (eğim -1 ise). Bazen de direk y=x - c şeklinde olabilir. Fakat şeklin en sık kullanılan ve mantıksal çözüm getiren versiyonu, C noktasının B ile çakıştığı veya uzantısı olduğunu varsayıp direğin y=-x+5 şeklinde olmasıdır.
Bu durumda:
Bu doğru, gerçekten de x ekseniyle 45^\circ açı yapar (dikey düşeyle değil, yatay eksenle 45°). Dolayısıyla problemi şu şekilde özetleyebiliriz:
- Parabola: y = -x^2 + 5x.
- Doğru: y = -x + 5.
Burada C noktası (5,0) kabul edilince, doğru x=5 noktasında $y=0$’ı veriyor ve bu tam da B noktasıyla çakışmaktadır. Fakat sorudaki şekilde B ile C noktası farklı görünebilir; pratikte uzunluk ve harf isimlendirmeleri küçük değişiklik gösterse de, çözüm tekniği aynı kalır.
3. En Yakın Nokta: Kesişim veya Minumum Mesafe
Bir noktadan (veya doğrudan) başka bir eğriye (burada parabola) en kısa mesafe, çoğu zaman ya o eğrinin normalini/tangentini analiz ederek ya da doğrudan “kesişim” üzerinden bulunur. Burada çok daha basit bir durum var:
Bu doğru (y=-x+5) ile parabola (y=-x^2+5x) kesişiyorsa, o kesişim noktalarının mesafesi sıfır olacağından, bu aslında “en yakın noktalar” demektir. Yani eğer bir doğru ile bir parabola bir veya iki noktada buluşuyorsa, bu buluşma noktalarında aradaki mesafe “sıfır” olur ve bu da en kısa mesafedir.
3.1. Parabola ile Doğrunun Kesişimi
Şu denklemi kuralım:
ile
birbirine eşitlenirse kesişim bulunur:
Bu eşitliği düzenleyelim:
Her iki tarafı -1 ile çarparak:
Bu, x^2 - 6x + 5 = 0 biçiminde bir ikinci dereceden denklemdir. Şimdi bunun köklerini bulalım. Çarpanlara ayırma yöntemini deneyelim:
Dolayısıyla çözümler:
Bu x değerlerine karşılık y değerlerini bulmak için doğru veya parabola denklemine tekrar yazmamız yeterli (ikisinde de sonuç aynıdır, çünkü kesişim noktası):
-
x=1 iken doğrudaki y:
y = -1 + 5 = 4.Bu halde kesişim noktası (1, 4).
-
x=5 iken doğrudaki y:
y = -5 + 5 = 0.Bu halde kesişim noktası (5, 0).
Böylece doğru ile parabola, (1,4) ve (5,0) noktalarında buluşur.
3.2. En Yakın Noktalar ve Mesafe
Kesişen yerlerde “doğru ile parabola arası mesafe” doğal olarak sıfırdır. Dolayısıyla en kısa mesafe de “0” olmuş olur. Fakat sorunun ifadesi, “elektrik direğinin tünel üzerinde bulunan noktalardan en yakın olanının ordinatı” diye sorduğu için, pratikte:
- (5,0) noktası zaten x eksenini kestiğimiz B ile aynı yer olabilir.
- (1,4) ise parabolanın üzerinde, döşeme hattından farklı, tünelin tepeye doğru olan bir kesiminde bulunur.
Burada genellikle sorunun mantığı şöyle olur: “C noktasından 45°’lik direk uzadığında, tünelin üzerinden sürüklenmiş bir noktaya değdiğinde (kesiştiğinde), tüneldeki hangi nokta ile bu direk en yakın konuma gelir?” Bu, kesişim noktasıdır ve (1,4) ve (5,0) olmak üzere iki farklı nokta elde ettik. Sorudaki “en yakın nokta” ifadesi çoğunlukla $(1,4)’ü kastediyor (çünkü (5,0)$ genellikle tünelin kenar uç noktası, direğin dikildiği yer, B veya C ile karışan nokta olabiliyor). Seçeneklerde de 4’ün bulunması bu çözümü doğrular niteliktedir.
Böylece, sorunun “kaçtır?” dediği “en yakın noktanın ordinatı” 4 olur. Seçenekler incelendiğinde 4 (C şıkkı) cevabı olarak karşımıza çıkar.
Formüller ve Adım Adım Özet Tablosu
Aşağıda, çözüme dair önemli adımları ve kullanılan formülleri tablo halinde bir araya getiriyoruz.
| Adım | İşlem | Matematiksel Gösterim | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1 | Parabolayı tanımlama | ( y = -x^2 + 5x ) | Tünelin denklemi |
| 2 | Doğruyu tanımlama (45° eğimli) | ( y = -x + 5 ) | Elektrik direğinin denklemi |
| 3 | Kesişim denklemini oluşturma | (-x^2 + 5x = -x + 5) | İki kesişim noktası beklenir |
| 4 | Düzenleme ve basitleştirme | (-x^2 + 6x - 5 = 0 ;\rightarrow; x^2 - 6x + 5=0) | Karmaşık cebirsel denklem |
| 5 | Köklerin bulunması (çarpanlara ayırma) | ((x - 1)(x - 5) = 0 ;\rightarrow; x=1,; x=5) | İki kök: (x=1) ve (x=5) |
| 6 | Bu köklere göre ( y ) değerlerini bulma | ( y(1) = 4, \quad y(5)=0 ) | Kesişim noktaları: ((1,4)),(5,0) |
| 7 | En yakın uzaklık analizi: kesişim noktalarında mesafe sıfır | Mesafe (=0) | En yakın nokta tam kesişimdir |
| 8 | Sorudaki “en yakın ordinat”ı sorma | Kesişimlerdeki (y) değerleri: 4 ve 0 | Soruda aranılan sonuç: 4 |
Ek Bilgiler ve İlgili Konular
-
Eğim ve Açı İlişkisi
- Bir doğru m eğimli ise, yatay eksenle yaptığı açı $\theta = \arctan(m)$’dir.
- $45^\circ$’lik açı \tan 45^\circ = 1 olduğundan, doğru eğimi m = \pm 1 olur.
-
Parabolanın Geometrik Özellikleri
- (y=-x^2+5x) parabolası, $x=2.5$’ta tepe noktasına sahiptir ve tepe yüksekliği 6.25’tir.
- x eksenini kesme noktaları (0,0) ve (5,0), uç kısımlarını oluşturur.
-
En Yakın Nokta Kavramı
- Parabolaya uzaklığı minimize eden doğru veya nokta bazen normal/tanjant analizleriyle bulunur. Ancak bu problemede, kuru kuruya “kesişim noktası” arandığından, kısa yoldan çözüme gidilir. İki eğri kesişiyorsa orada aradaki mesafe 0’dır. “En yakın” ifadesi tam olarak bu anlama gelir.
-
Fiziksel Yorum
- Gerçekte, rüzgâr etkisiyle 45°’lik açı yapmış elektrik direğinin tünel “kubbesi” gibi düşünebileceğimiz parabola üzerinde bir noktada çarpması veya en yakın teması soruluyor olabilir. Bu çarpma (temas) noktası ve bunun dikey (ordinat) değeri 4’tür.
Sonuç ve Kısa Özet
Bu problemde:
- Parabola: (y=-x^2+5x)
- 45°’lik doğrusu: (y=-x+5)
- Kesişim denklemi: (-x^2+5x = -x+5 \implies -x^2+6x-5=0 \implies x^2-6x+5=0.)
- Kökler: (x=1) ve (x=5). Karşılık gelen (y) değerleri sırasıyla (4) ve (0).
Böylece “tünel üzerindeki en yakın nokta”nın ordinatı 4 olarak tespit edilir. Sorunun çoktan seçmeli formatında genelde bu değer (C) şıkkı olarak verilir.
Doğru Yanıt: 4
@username