Resimli Sorunun Çözümü: A, B ve C Noktalarının Koordinatları ve İlişkisi

YKS TYT
1

17676339807211688377447322188072
17676339807211688377447322188072720×540 24.7 KB

2

Resimli Sorunun Çözümü: A, B ve C Noktalarının Koordinatları ve İlişkisi

Önemli Noktalar

  • Noktalar A(2, -2), B(4, 5) ve C(a, b)
  • AB uzunluğu, AC uzunluğunun iki katı verilmiş: |AB| = 2|AC|
  • A, B ve C doğrusal ve aralarındaki uzaklık oranları verilmiş
  • Koordinatlar ve uzunluk ilişkileri kullanılarak (a, b) bulunabilir

Soruda A(2, -2), B(4, 5) noktaları ve C(a, b) noktası veriliyor. |AB| = 2|AC| olduğu bilgisiyle C noktasının koordinatlarının bulunması isteniyor.

İçindekiler

  1. Verilen Bilgilerin Değerlendirilmesi
  2. Mesafe Formülünün Uygulanması
  3. |AB| = 2|AC| Denkleminin Çözülmesi
  4. Sonuç ve (a, b) Koordinatlarının Bulunması
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Verilen Bilgilerin Değerlendirilmesi

  • Noktalar:
    • A(2, -2)
    • B(4, 5)
    • C(a, b) (bulunacak)
  • Verilen: |AB| = 2 |AC|
  • B noktası (4, 5) arada olduğu için AB = 2k ve AC = k olarak ifade edilmiş, yani
    AB = 2k, AC = k, ve |AB| = 2 |AC| sağlanıyor.

Buradan hareketle A, B, C noktalarının bir doğru üzerinde ve belirli oranlarda yer aldığını söyleyebiliriz.

2. Mesafe Formülünün Uygulanması

İki nokta arasındaki uzaklık:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Öncelikle |AB| uzunluğunu hesaplayalım:

|AB| = \sqrt{(4 - 2)^2 + (5 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53}

|AB| = ( \sqrt{53} )

Şimdi problem koşuluna göre:

|AB| = 2 |AC| \Rightarrow |AC| = \frac{|AB|}{2} = \frac{\sqrt{53}}{2}

|AC| uzunluğunu da açalım:

|AC| = \sqrt{(a - 2)^2 + (b + 2)^2} = \frac{\sqrt{53}}{2}

3. |AB| = 2|AC| Denkleminin Çözülmesi

Denklemi kareleyelim ki eşitsizliği ortadan kaldıralım:

(a - 2)^2 + (b + 2)^2 = \left(\frac{\sqrt{53}}{2}\right)^2 = \frac{53}{4}

Burada (a, b) noktası için bir çember denklemi elde etmiş olduk.

Şimdi B(4, 5) noktası ile C(a, b) noktası arasındaki mesafe |BC| da bilinmeli ki soruyu çözmek mümkün olsun.

Resimde 3k = |AB| ve 1k = |AC| şeklinde segmentler gösterilmiş. Ayrıca 3k + k = 4k toplam yani AC + CB toplam AB.

Ancak verilen şeye göre |AB| = 2 |AC| ve segmentlerde 3k ve k olarak uzunluk gösterilmiş.

Burada bir tutarsızlık olduğu için kesin çözüm için ek bilgi gerekir.

Fakat bağlanan noktalara göre (3k+k=4k) ve AB = 2 AC, yani AB’nin AC’nin iki katı olması bazı uzunluk oranlarını ortaya koymak için kullanılabilir.

4. Sonuç ve (a, b) Koordinatlarının Bulunması

Doğru üzerinde nokta koordinatını bulmak için nokta bölme formülü kullanılır:

Noktalar A ve B arası, C noktası A’dan daha yakın, şu oranda: |AB| = 2|AC| ⇒ |AC| = 0.5 |AB|

Bu durumda C noktası A ve B arasında 1/3 oranında bölüyor:

a = \frac{2 \times 4 + 1 \times 2}{2 +1} = \frac{8 + 2}{3} = \frac{10}{3} = 3.33
b = \frac{2 \times 5 + 1 \times (-2)}{3} = \frac{10 - 2}{3} = \frac{8}{3} = 2.67

Burada segment oranı 2:1 olduğu için C noktası A ile B arasında 1/3 uzaklıkta.

Böylece C noktası = (\left(\frac{10}{3}, \frac{8}{3}\right) \approx (3.33, 2.67))

Sık Sorulan Sorular

1. C noktası neden 1/3 oranında bölüyor?
Çünkü |AB| = 2|AC| olduğuna göre, AC = ½ AB, yani AC AB’nin yarısı. C noktası A ve B arasında doğru üzerinde ve A’dan B’ye 2’e 1 oranında bölünmüş oluyor.

2. Koordinatlar nasıl hesaplanır?
Nokta bölme formülü ile:

x = \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \quad y = \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}

Burada (m:n) bölme oranı, A( (x_1,y_1) ) ve B( (x_2,y_2) ).

3. Doğru üzerinde olmayan bir nokta mı kastediliyor?
Hayır, verilen uzunluk oranları doğrudan C’nin doğru üzerinde olduğunu gösterir.

Sonraki Adımlar

Benzer koordinat ve uzunluk problemleri için nokta bölme ve mesafe formüllerini detaylı incelemek ister misiniz? Matematikte bu tür soruları hızla çözmek için önerilen pratikleri öğrenmek ister misiniz?

@Tulayw

3

C Noktasının Koordinatları Nedir?

Önemli Noktalar

  • A(2, −2), B(4, 5) ve C(a, b) noktaları kolinerdir.
  • AB:BC = 2:1 olduğundan B, AC’yi 2:1 oranıyla içten böler.
  • İç bölüm formülü kullanılarak C doğrudan bulunabilir.

C noktasının koordinatları (5, 17/2) yani (5, 8.5) olarak bulunur.

İçindekiler

  1. Çözüm Detayları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Detayları

A, B, C noktalarının koliner ve AB:BC = 2:1 olduğu bilindiğine göre B, AC doğrusu üzerinde A’dan C’ye 2/3 oranında ilerler. İç bölüm formülünü şu şekilde yazarız:

(x_B,y_B) = \Bigl( x_A + \tfrac{2}{3}(x_C - x_A),\; y_A + \tfrac{2}{3}(y_C - y_A)\Bigr).

B’nin koordinatları (4, 5), A’nınkiler (2, −2) olduğuna göre

\begin{cases} 2 + \tfrac{2}{3}(a - 2) = 4,\\[6pt] -2 + \tfrac{2}{3}(b + 2) = 5. \end{cases}

Birinci denklem:

2 + \tfrac{2}{3}(a-2)=4 \;\Longrightarrow\; 2(a-2)=6 \;\Longrightarrow\; a-2=3 \;\Longrightarrow\; a=5.

İkinci denklem:

-2 + \tfrac{2}{3}(b+2)=5 \;\Longrightarrow\; 2(b+2)=21 \;\Longrightarrow\; b+2=\tfrac{21}{2} \;\Longrightarrow\; b=\tfrac{17}{2}.

Sonuç olarak

C\bigl(a,b\bigr)=\Bigl(5,\;\tfrac{17}{2}\Bigr).

Karşılaştırma Tablosu

Bölme Türü Oran (m:n) Formül
İç Bölüm m:n \displaystyle\Bigl(\tfrac{n\,x_1 + m\,x_2}{m+n},\;\tfrac{n\,y_1 + m\,y_2}{m+n}\Bigr)
Dış Bölüm m:n \displaystyle\Bigl(\tfrac{-n\,x_1 + m\,x_2}{m-n},\;\tfrac{-n\,y_1 + m\,y_2}{m-n}\Bigr)

Özet Tablosu

Nokta Koordinatlar
A (2, −2)
B (4, 5)
Oran AB : BC = 2 : 1
C (5, 17/2)

SSS

  1. Noktaların koliner olup olmadığının kontrolü nasıl yapılır?
    Üç noktanın yön (slope) değerleri eşitse kolinerdir.

  2. AB:BC = m:n ise hangi formül kullanılır?
    İç bölüm için
    \displaystyle\Bigl(\tfrac{n\,x_A + m\,x_C}{m+n},\;\tfrac{n\,y_A + m\,y_C}{m+n}\Bigr).

  3. Dış bölüm nasıl farklılaşır?
    Paydada m - n kullanılır ve n terimi eksi işaret alır.

  4. Bulunan C noktasını nasıl doğrularız?
    A, B, C arasındaki uzaklık oranlarının 2:1 ve toplamın 3’e bölündüğünü kontrol ederek.

Bu konuyla ilgili 3 adet pratik örnek soru çözmek ister misiniz?
@Tulayw