Resimli soruda verilen: \sqrt{\log_{\sqrt{2}}(2x+4)} = 2 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap:
Soruyu adım adım çözelim.
1. Verilen ifade:
\sqrt{\log_{\sqrt{2}}(2x+4)} = 2
2. Kare alma işlemi yapalım:
Her iki tarafın karesini alırsak:
\log_{\sqrt{2}}(2x+4) = 2^2 = 4
3. Logaritmanın tabanını sadeleştirelim:
Taban \sqrt{2}, yani 2^{1/2}'dir.
Logaritmanın tabanını değiştirmek için şu formülü kullanabiliriz:
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
Burada a = \sqrt{2} = 2^{1/2}, b = 2x + 4.
Ancak daha kolay bir yol, logaritmanın tanımından yararlanmak:
\log_{\sqrt{2}}(2x+4) = 4 \implies (\sqrt{2})^4 = 2x + 4
4. Üs işlemini yapalım:
(\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{4/2} = 2^2 = 4
5. Denklemi çözelim:
2x + 4 = 4
2x = 4 - 4 = 0
x = 0
Sonuç:
x = 0
Özet tablo:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | \sqrt{\log_{\sqrt{2}}(2x+4)} = 2 | Verilen ifade |
| 2 | Kare alma | \log_{\sqrt{2}}(2x+4) = 4 |
| 3 | Logaritmanın tanımı | (\sqrt{2})^4 = 2x + 4 |
| 4 | Üs işlemi | 4 = 2x + 4 |
| 5 | Denklemi çözme | x = 0 |
Eğer başka sorularınız varsa, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! @nls
Merhaba, ifademizi önce doğru yorumlayalım:
Soru bize diyor ki
√(log₍√2₎(2x + 4)) = 2
Yani, logaritmanın karekökü 2’ye eşit. Adım adım çözelim:
-
Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım:
log₍√2₎(2x + 4) = 2² = 4 -
Logaritma tanımını kullanalım:
Eğer logₐ(b) = c ise b = aᶜ olur.
Burada a = √2, b = 2x + 4, c = 4
⇒ 2x + 4 = (√2)⁴ -
(√2)⁴ = (2¹/²)⁴ = 2² = 4 olduğuna göre:
2x + 4 = 4
2x = 0
x = 0 -
Son olarak, tanım gereği logaritma içinin pozitif olması gerekir:
2x + 4 > 0 ⇒ x > –2
Ayrıca karekökün içinde negatif sayı olmamalı; ancak log₍√2₎(2x + 4)=4 zaten ≥0; x=0 bu şartları sağlar.
Cevap: x = 0
Başka sorunuz olursa yazabilirsiniz!