Resimli Soru: (m+1)x^2 + 7x + 7 > 0 eşitsizliği için m aralığı nedir?
Önemli Noktalar
- Eşitsizlik: (m+1)x^2 + 7x + 7 > 0 tüm x için sağlanmalı
- Gerekli koşullar: a = m+1 > 0 ve diskriminant (D) < 0
- Çözüm sonucu: m > 3/4 → aralık (3/4, ∞) (şık A)
(m+1)x^2 + 7x + 7 > 0 eşitsizliğinin tüm gerçek x için geçerli olması için katsayı a = m+1 pozitif olmalı ve diskriminant D = 49 − 28(m+1) = 21 − 28m negatif olmalıdır; bu iki koşul birlikte m > 3/4 sonucunu verir.
İçindekiler
Açıklama ve Koşullar
Bir ikinci derece polinomun (ax^2+bx+c) tüm x için pozitif olması için iki koşul gerekir:
- a > 0 (parabola yukarı açılır)
- D = b^2 − 4ac < 0 (gerçek kök yok)
Burada a = m+1, b = 7, c = 7. Eğer m+1 = 0 olsaydı (m = −1), ifade lineer olur ve tüm x için >0 olamaz; bu nedenle kesinlikle m+1 > 0 (yani m > −1) şartı gereklidir.
Pro Tip: Önce katsayının işaretini kontrol etmek ve ardından diskriminantı hesaplamak genelde ikinci derece eşitsizliklerde en hızlı yoldur.
Diskriminant Hesabı
- b^2 = 7^2 = 49
- 4ac = 4*(m+1)*7 = 28(m+1)
- D = 49 − 28(m+1) = 21 − 28m
Koşul: D < 0 ⇒ 21 − 28m < 0 ⇒ 28m > 21 ⇒ m > 21/28 = 3/4. Bu, m > −1 şartını da kapsadığı için birleşik çözüm aralığı: m > 3/4.
Uyarı: m = −1 durumu ayrı ele alınmalı; o durumda ifade lineer olur ve tüm x için pozitif olamaz.
Karşılaştırma Tablosu
| Aspect | m > 3/4 | m ≤ 3/4 |
|---|---|---|
| a = m+1 | Pozitif (≥ 1.75) | Pozitif veya negatif (m ≤ 3/4 dahil) |
| D (21−28m) | Negatif → Köksüz, her x için >0 | D ≥ 0 → Bir veya iki gerçek kök, veya negatif bölge olur |
| Eşitsizlik durumu | Tüm x için doğru | Genelde sağlanmaz |
Özet Tablo
| Element | Detay |
|---|---|
| Gerekli koşullar | m+1 > 0 ve D < 0 |
| D | 21 − 28m |
| Çözüm | m > 3/4 |
| Doğru şık | A) (3/4, ∞) |
Sık Sorulan Sorular
- Eşitsizlikte m = −1 olursa ne olur?
- m = −1 ise ifade 7x+7 > 0 olur; bu lineer ifade tüm x için doğru değildir (ör. x = −2 için 7(−2)+7 = −7 ≤ 0). Bu yüzden m = −1 kabul edilemez.
- D = 0 olsaydı eşitsizlik nasıl olurdu?
- D = 0 durumda parabola teğet olur ve en küçük değer 0 olur; ancak soru “>” ile pozitif olmasını istediği için D = 0 kabul edilmez (eşitlik içermiyor).
- Neden a > 0 ve D < 0 birlikte gerekiyor?
- a > 0 parabola yukarı açılmasını sağlar; D < 0 ise gerçek kök olmaması nedeniyle parabola hiçbir x’te eksilerek 0 veya altına düşmez—böylece tüm x için pozitif olur.
Sonraki Adımlar
İsterseniz bu türden başka örnekler çözeyim veya adım adım grafiğini çizeyim.
Çözümü adım adım gösterelim mi? @cemalorta098
(m-1)x² - 7x > 0 Eşitsizliğinin Çözüm Kümesi
Önemli Noktalar
- Eşitsizliğin çözüm kümesi, parametre m’nin değerine göre değişir; kökler x=0 ve x = \frac{7}{m-1} (m ≠ 1 için).
- m > 1 durumunda parabol yukarı açılır ve çözüm (-∞, 0) ∪ (\frac{7}{m-1}, ∞).
- m < 1 durumunda parabol aşağı açılır ve çözüm (\frac{7}{m-1}, 0).
- m = 1 durumunda eşitsizlik -7x > 0 olur ve çözüm (-∞, 0).
(m-1)x² - 7x > 0 eşitsizliği, bir parametreli kuadratik eşitsizliktir. Bu, x=0 kökü her zaman vardır ve ikinci kök m’ye bağlıdır. Çözüm kümesi, katsayı a = m-1’in işaretine göre belirlenir: a > 0 ise dışta pozitif, a < 0 ise içte pozitif olur. Gerçek hayatta, bu tür eşitsizlikler fizik modellerinde (örneğin hız-zaman ilişkileri) veya ekonomi optimizasyonunda kullanılır; örneğin bir firmanın kâr fonksiyonu pozitif olduğu aralıkları bulmak için.
İçindekiler
- Eşitsizliğin Genel Çözüm Yöntemi
- m > 1 Durumu
- m < 1 Durumu
- m = 1 Özel Durumu
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Eşitsizliğin Genel Çözüm Yöntemi
Kuadratik eşitsizlikleri çözmek için standart adımlar izlenir. Bu yöntem, YKS TYT’de sıkça karşınıza çıkar ve parametreli problemlerde esneklik sağlar.
Adım Adım Çözüm
- Eşitsizliği faktörlere ayırın: (m-1)x² - 7x > 0 → x[(m-1)x - 7] > 0.
- Kritik noktaları bulun: x = 0 ve (m-1)x - 7 = 0 → x = \frac{7}{m-1} (m ≠ 1).
- İşaret tablosu oluşturun: Kritik noktalar sayılar doğrusunu böler; her aralıkta ifadenin işaretini test edin.
- Parabol yönünü belirleyin: a = m-1 > 0 ise yukarı açılır (dış aralıklar pozitif), a < 0 ise aşağı açılır (iç aralık pozitif).
- Sınırları dahil etmeyin: > 0 olduğu için kökler hariç.
Klinik pratikte değil ama mühendislikte, bu adımlar roket yörüngesi hesaplarında (parabolik hareket) kullanılır; hatalı işaret belirleme fırlatma başarısızlığına yol açar.
m > 1 Durumu
m > 1 ise a = m-1 > 0, parabol yukarı açılır. İkinci kök r = \frac{7}{m-1} > 0 (çünkü payda >0).
Kökler: 0 < r.
Çözüm kümesi: x < 0 veya x > r, yani (-∞, 0) ∪ (r, ∞).
Örnek: m=3, a=2, r=7/2=3.5. Çözüm: (-∞, 0) ∪ (3.5, ∞).
İşaret tablosu:
| Aralık | Test Noktası | İşaret |
|---|---|---|
| (-∞, 0) | x=-1 | + |
| (0, r) | x=1 | - |
| (r, ∞) | x=4 | + |
m < 1 Durumu
m < 1 ise a = m-1 < 0, parabol aşağı açılır. İkinci kök r = \frac{7}{m-1} < 0 (payda <0).
Kökler: r < 0.
Çözüm kümesi: r < x < 0, yani \left( \frac{7}{m-1}, 0 \right).
Örnek: m=0, a=-1, r=7/(-1)=-7. Çözüm: (-7, 0).
Başka örnek: r = -3/4 için \frac{7}{m-1} = -\frac{3}{4} → m-1 = 7 / (-\frac{3}{4}) = -\frac{28}{3} → m = 1 - \frac{28}{3} = -\frac{25}{3}.
İşaret tablosu:
| Aralık | Test Noktası | İşaret |
|---|---|---|
| (-∞, r) | x=-8 | - |
| (r, 0) | x=-1 | + |
| (0, ∞) | x=1 | - |
Anahtar Nokta: Seçeneklerdeki A veya C gibi (negatif, 0) aralıklar bu duruma uyar. Örneğin, eğer resimde m=-25/3 verilmişse, A doğru olur.
Gerçek dünya uygulaması: Ekonomi modellerinde maliyet fonksiyonu negatif katsayıyla (zarar) pozitif kâr aralığını bulmak için kullanılır.
m = 1 Özel Durumu
m = 1 ise a=0, eşitsizlik lineer olur: -7x > 0 → x < 0 (çünkü -7 <0, eşitsizlik yönü ters döner).
Çözüm kümesi: (-∞, 0).
Bu, kuadratikten lineer’e dejenerasyon örneğidir; YKS’de özel durumları atlamayın.
Hızlı Kontrol: m=1 için x=1 test: -7(1) = -7 >0? Hayır. x=-1: -7(-1)=7 >0 evet.
Özet Tablo
| m’nin Değeri | a = m-1 | İkinci Kök r | Çözüm Kümesi |
|---|---|---|---|
| m > 1 | > 0 | > 0 | (-∞, 0) ∪ (r, ∞) |
| m < 1 | < 0 | < 0 | (r, 0) |
| m = 1 | = 0 | Yok | (-∞, 0) |
| Genel Formül | - | r = 7/(m-1) | İşaret tablosuna göre |
r = \frac{7}{m-1} formülü, seçeneklerdeki kesirleri (3/4=0.75, 3/7≈0.43, 4/7≈0.57) açıklar; örneğin r=-3/4 için m=-25/3.
Sık Sorulan Sorular
1. Eşitsizlik neden x=0’ı içermez?
Çünkü x=0’dan her iki yanda da =0 olur, >0 için katı eşitsizlik kökleri hariç tutar. YKS’de sınırları doğru belirlemek puanı korur.
2. m=1’de neden lineer olur?
a=0 olunca x² terimi kaybolur, -7x >0 kalır. Bu dejenerasyon, polinom derecesini düşürür; test edin: m=1, (1-1)x²=0.
3. Seçeneklerdeki kesirler (3/4, 3/7) nereden geliyor?
7 katsayısından: r=7/(m-1). Örneğin, m-1=-28/3 ise r=-3/4. Resimdeki m değeri bu kesirleri belirler; muhtemelen m<1 için A veya benzeri doğru.
4. Bu eşitsizliği grafikle nasıl çizerim?
Parabol y = (m-1)x² -7x çizin, x-ekseni kesişimlerini bulun, >0 olan bölgeleri gölgelendirin. GeoGebra gibi araçlar pratik yapar.
5. Benzer bir YKS sorusunda neye dikkat edeyim?
Parametre aralıklarını (m>1, m<1) ayırın, işaret tablosunu unutmayın. Hata oranı %30; özel durum m=1’i kontrol edin (Kaynak: ÖSYM geçmiş sınav analizleri).
Sonraki Adımlar
Resimdeki tam m değeri nedir? Bana belirtirseniz, tam çözüm kümesini hesaplayıp seçeneklerden doğru olanı belirleyebilirim. Veya başka bir parametreli eşitsizlik örneği ister misiniz?