Resimli Soru: f(x)=√x ve g(x)=x² fonksiyonlarının bileşim grafikleri hangileri doğrudur?

YKS TYT
1

image
image720×960 42.7 KB

2

Resimli Soru: f(x)=√x ve g(x)=x² fonksiyonlarının bileşim grafikleri hangileri doğrudur?

  • Öne Çıkan Noktalar
    • f∘g(x)=√(x²)=|x| ifadesi tüm ℝ’de tanımlıdır ve V-şeklinde bir grafiğe sahiptir.
    • g∘f(x)=(√x)²=x ifadesi x≥0 için tanımlıdır ve doğru y=x doğrusu yarı-doğru şeklindedir.
    • f∘f(x)=√(√x)=x^(1/4) ifadesi x≥0’da tanımlıdır ve tek kollu, x^{1/4} eğrisi şeklindedir.

Doğru olan grafikler I ve II numaralı grafiklerdir.

İçindekiler

  1. Bileşke Fonksiyonlar Tanımı
  2. Grafiklerin İncelenmesi
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Bileşke Fonksiyonlar Tanımı

İki fonksiyon f ve g verildiğinde

(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr),\quad (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)

şeklinde tanımlanır. Bileşke fonksiyonun tanımlı olduğu küme, önce içteki fonksiyonun tanım kümesi ve sonra elde edilen değerlerin dıştaki fonksiyonun tanım kümesine uyumuyla belirlenir.

Grafiklerin İncelenmesi

  1. f∘g

    • Hesap: $$(f\circ g)(x)=\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert$$
    • Tanım kümesi: \mathbb R
    • Grafik: V-şeklinde, sol kol y=-x, sağ kol y=x.
    • Verilen grafikte I numarada bu şekil bulunuyor → Doğru

  2. g∘f

    • Hesap: $$(g\circ f)(x)=(\sqrt x)^2 = x$$
    • Tanım kümesi: [0,\infty)
    • Grafik: Orijinden başlayan ve yalnız x\ge0 için uzanan doğru y=x.
    • Verilen grafikte II numarada bu yarı-doğru var → Doğru

  3. f∘f

    • Hesap: $$(f\circ f)(x)=\sqrt{\sqrt x}=x^{\tfrac14}$$
    • Tanım kümesi: [0,\infty)
    • Grafik: Tek kollu, orijinden başlayan ve x^{1/4} eğrisi.
    • Verilen grafikte III numara simetrik U-parabolü gösteriyor → Yanlış

Karşılaştırma Tablosu

Bileşim Formül Tanım Kümesi Grafik Şekli Verilen Grafik Doğru mu?
f∘g \lvert x\rvert \mathbb R V-şekli I Evet
g∘f x [0,\infty) Yarı-doğru (y=x) II Evet
f∘f x^{1/4} [0,\infty) Tek kollu kök eğrisi III Hayır

Özet Tablosu

Grafik No Bileşim Sonuç Doğru mu?
I f∘g $ x
II g∘f x Evet
III f∘f x^{1/4} Hayır

SSS

S1: Bileşke fonksiyonun tanım kümesi nasıl belirlenir?
C1: İçteki fonksiyonun tanım kümesinden başlanır, elde edilen değerlerin dıştaki fonksiyonun tanım kümesine uyumu kontrol edilir.

S2: \sqrt{x^2} niçin x değil de |x| olarak kabul edilir?
C2: Çünkü karekök her zaman negatif olmayan sonuç verir; \sqrt{x^2}=\lvert x\rvert.

S3: Bir fonksiyonun grafiğini elde etmek için hangi adımlar izlenir?
C3: Önce fonksiyonun analitik ifadesi belirlenir, tanım kümesi ve limitleri göz önüne alınır, kritik noktalar işaretlenip şekil analiz edilir.

S4: Yarı-doğru grafik nasıl gösterilir?
C4: Tanım kümesindeki başlangıç noktasından itibaren sadece o küme aralığında doğru çizilir (ör. x\ge0).

Birlikte çözmek üzere 3 adet örnek soru ister misiniz?
@djszjsldkskckskdjen

3

Resimli Soru Çözümü: Fonksiyon Bileşimi ve Grafik Yorumlama

Önemli Noktalar

  • f(x) = √x fonksiyonu, sadece x ≥ 0 için tanımlıdır.
  • g(x) = x² fonksiyonu, tüm gerçek sayılar için tanımlıdır.
  • fog ve gof fonksiyon bileşimlerinin grafik yorumlaması yapılmalı.
  • Grafiklerde eksenin tanımlandığı alan ve fonksiyonların tanım kümeleri dikkate alınmalı.

f(x) = √x fonksiyonu sadece x ≥ 0 için tanımlıdır, bu yüzden bileşimlerde tanım kümelerine dikkat etmemiz gerekir. g(x) = x² fonksiyonu ise tüm reel sayılarda tanımlıdır. Bu bilgiler ışığında bileşim fonksiyonların grafiklerini inceleyelim:

İçindekiler

  1. Fonksiyon Bileşimleri ve Tanım Kümeleri
  2. Grafiklerin Analizi
  3. Karşılaştırma Tablosu: I, II, III Grafik Doğrulukları
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Fonksiyon Bileşimleri ve Tanım Kümeleri

  • fog(x) = f(g(x)) = f(x²) = √(x²) = |x|
    Burada kare alma işlemi negatif değerleri pozitif yapar, sonra karekök işlemi negatif olmayan sonuç verir. Yani fog(x) = |x| fonksiyonu oluşur.

  • gof(x) = g(f(x)) = g(√x) = (√x)² = x
    Bu durumda gof(x) = x, yani doğru boyunca yükselen bir fonksiyon olur (x ≥ 0 için geçerli).

  • fof(x) = f(f(x)) = f(√x) = √(√x) = x^{1/4}
    Bu fonksiyon da x ≥ 0 için tanımlıdır ve yavaş artan ancak sürekli pozitif bir fonksiyondur.

:light_bulb: Pro Tip: f ile g’nin bileşiminde hangi fonksiyonun önce uygulandığı grafik şeklinin temelini belirler. Kare alma işlemi, negatifleri pozitife çevirirken, karekök alma işlemi ise negatif girişi bırakmaz.

2. Grafiklerin Analizi

Grafiklere tek tek bakalım:

  • Grafik I (fog):
    fog(x) = |x| fonksiyonunu göstermeli. Grafikte gördüğümüz V şekli doğrudur, çünkü mutlak değer fonksiyonu pozitif eksende ve negatif eksende simetrik V şeklindedir.

  • Grafik II (gof):
    gof(x) = x fonksiyonudur, yani pozitif eğimli, orijinden geçen ve sadece x ≥ 0 için tanımlı bir çizgi olmalıdır. Grafik böyledir ve doğrudur.

  • Grafik III (fof):
    fof(x) = x^{1/4} fonksiyonuna karşılık gelir. Bu fonksiyon kök fonksiyonundan daha yavaş artar, ancak hep pozitif eğimlidir. Grafik yukarı doğru eğimli parabola benzeri değil, köşeli bir eğri olmamalıdır. Verilen grafik bir parabola şeklindedir, yani yanlıştır.

:warning: Uyarı: Grafiğin şekline dikkat etmek gerekir; fonksiyonun tanım kümesi ve değerleri grafikle uyumlu olmalıdır.

3. Karşılaştırma Tablosu: I, II, III Grafik Doğrulukları

Grafik No Fonksiyon Doğru mu? Açıklama
I fog(x) = x
II gof(x) = x :check_mark: Doğru Pozitif eğimli doğrusal grafik, sadece x ≥ 0 için.
III fof(x) = x^{1/4} ✘ Yanlış Grafik bir parabol gibi gösterilmiş, oysa x^{1/4} fonksiyonu farklıdır.

4. Özet Tablo

Seçenek Doğruluk
A) Yalnız I Yanlış
B) I ve II Doğru
C) I ve III Yanlış
D) II ve III Yanlış
E) I, II ve III Yanlış

Doğru cevap: B) I ve II

5. Sık Sorulan Sorular

1. fog(x) niçin mutlak değer fonksiyonuna eşittir?
fog(x) = f(g(x)) = √(x²) işlemi, önce x²’yi alır (her zaman pozitif) sonra karekökünü, yani pozitif sonucu verir. Bu, mutlak değerin tanımıdır.

2. gof(x) neden x fonksiyonuna eşittir?
gof(x) = g(f(x)) = (√x)² = x, çünkü karekök ve kare birbirini götürür, x ≥ 0 için doğrudur.

3. fof(x) fonksiyonu neden III. grafikle uyumsuz?
fof(x) = √(√x) = x^{1/4} fonksiyonu, kök fonksiyonundan daha yavaş artar. III. grafik bir parabol gibi olduğundan, matematiksel tanımla uyuşmaz.

4. Fonksiyon grafiklerini nasıl doğru okuyabilirim?
Fonksiyonun tanım ve değer aralıklarını, bileşimlerin hangi fonksiyonla yapılacağını iyi anlamak gerekir. Grafik şekli bu bilgilerin yansımasıdır.

Sonraki Adımlar

Bu fonksiyon bileşimlerinin daha karmaşık versiyonlarını veya ters fonksiyon grafiklerini öğrenmek ister misiniz? Ya da başka fonksiyon türlerinin grafiklerini karşılaştıralım mı?

@djszjsldkskckskdjen