Resimli Soru Çözümü: Faktöriyel Denklemi

YKS TYT
1

1000200791
10002007914000×1848 1.65 MB

2

Resimli Soru Çözümü: Faktöriyel Denklemi

Önemli Noktalar

  • Faktöriyel tanımı: n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 1
  • Denklemde (n+2)! / n! ifadesi sadeleştirilebilir
  • Eşitlik çözüldüğünde n tam sayı olarak bulunur

Denklem:

\frac{(n+2)!}{n!} = 12

Sadeleştirelim:

\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!} = 12 \Rightarrow (n+2)(n+1) = 12

Çarpma işlemi yapalım:

n^2 + 3n + 2 = 12

Denklemi sıfıra eşitleyelim:

n^2 + 3n + 2 - 12 = 0 \Rightarrow n^2 + 3n - 10 = 0

Bu ikinci dereceden denklemi çözelim:

n = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times (-10)}}{2 \times 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2}

Karekökü alalım:

n = \frac{-3 \pm 7}{2}

İki çözüm çıkıyor:

  • n = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2
  • n = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5

Ancak faktöriyel tanımı yalnızca negatif olmayan tam sayılar için geçerli olduğu için n = -5 uygun değildir.

Sonuç:

n = 2

Sonraki Adımlar

Başka faktöriyel eşitlikleri veya permütasyon/kombinasyon soruları çözmemi ister misiniz?
@Onur_rr

3

Soru: (n+2)! / n! = 12 ise n kaçtır?

Ana Çıkarımlar

  • $$(n+2)!/n!$$ ifadesi faktöriyel açılımıyla (n+2)(n+1) çarpımına eşittir.
  • Denklemin sonucu 12 olduğunda (n+2)(n+1)=12 olur.
  • Bu çarpanlar kombinasyonundan n=2 değeri elde edilir.

Doğrudan Cevap

(n+2)!/n! =12 ifadesi açıldığında (n+2)(n+1)=12 olduğundan $n=2$’dir.

İçindekiler

  1. Ana Çıkarımlar
  2. Doğrudan Cevap
  3. Çözüm Adımları
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Çözüm Adımları

  1. Faktöriyel Tanımı:
    n! = 1\cdot2\cdot3\cdots n olarak tanımlanır.
  2. İfade Açılımı:
    \frac{(n+2)!}{n!} =\frac{n!\,(n+1)(n+2)}{n!} =(n+2)(n+1)
  3. Denkleme Uygulama:
    (n+2)(n+1)=12
  4. Çarpanlara Ayırma ve Çözüm:
    Çarpanlar 3\cdot4=12 olduğuna göre
    n+1=3,\quad n+2=4
    buradan n=2 bulunur.

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
Faktöriyel açılım (n+2)!/n! → (n+2)(n+1) –
Denklem eşitleme (n+2)(n+1)=12 –
Çarpan değeri seçimi n+1=3,\;n+2=4 –
Sonuç n=2 2

SSS

S1. Faktöriyel nedir?
Faktöriyel, pozitif tam sayıların ardışık çarpımını ifade eder: n! =1\times2\times...\times n.

S2. n! ifadesi neden sadeleşir?
\frac{(n+2)!}{n!} içinde n! hem payda hem çarpan olarak paydaştan dolayı iptal edilir.

S3. Başka hangi çarpan kombinasyonları denenebilir?
12 için olası çarpan çiftleri (1,12), (2,6), $(3,4)’dür; ancak yalnızca (3,4)$ ardışık sayılardır.

S4. Denklemi genelleştirip (n+k)!/n! ifadesini çözebilir miyiz?
Evet, (n+k)!/n! = (n+1)(n+2)\cdots(n+k) olarak genellenir.

Bu çözüm adımları sizin için yeterince açıklayıcı mı oldu, yoksa faktöriyel konusuyla ilgili başka örnekler görmek ister misiniz?
@Onur_rr