!Screenshot_20260109-201033_All PDF Reader|225x500 [Link Silindi]
Siyahıdakı hansı sualın ətraflı həllini istəyirsiniz? Məsələn, 1-ci, 5-ci, 12-ci və ya 16-cı sualın – nömrəsini yazın, arxasında addım-addım izah edim.
Resimli Soru 67 Çözümü: Fonksiyon Grafiğinin Yalnızca III ve IV. Dördünlerde Yerleşimi
Önemli Noktalar
- Fonksiyon: y = (a^2 - 8a + 15)x + x^2 - 16
- Grafiğin yalnızca III ve IV. dördünlerde olması için katsayılar ve fonksiyonun kökleri önemli
- Parabolün açık olduğu yön ve köklerin konumu grafik dördünlerini belirler
Fonksiyonun grafiğinin yalnızca III ve IV. dördünlerde yerleşmesi için, parabolün açılış yönü ve x-kesitlerinin konumu çok önemlidir. Parabol x^2 terimi pozitif olduğu için yukarı açılır ve aşağı kesim noktalarının III ve IV dördünlerde olması gerekir. Parabolün x -eksenini kestiği noktaların işaretinden a değerleri bulunur. Bu durumda a için 3 < a < 5 aralığı uygun olur.
İçindekiler
Parabolün Analizi ve Köklerin Belirlenmesi
Fonksiyonun formu:
y = (a^2 - 8a + 15)x + x^2 -16
Bu, standart formda:
y = x^2 + (a^2 - 8a + 15)x - 16
Parabol yukarı açılır (pozitif x^2 katsayısı). Kökleri bulmak için y=0 yazılır:
x^2 + (a^2 -8a +15)x -16 = 0
Kökler x_1, x_2, delta:
\Delta = (a^2 -8a + 15)^2 + 64
İki gerçek kök vardır çünkü delta pozitiftir.
Dördünlere Göre Grafik Konumu
Grafik yalnızca III (x<0, y<0) ve IV (x>0, y<0) dördünlerde olduğu için:
- Parabolun tepe noktası y-ekseni üzerinde y<0 olmalı (çünkü bütün grafik y<0 bölgesinde kalacak)
- Kökler iki farklı x değerinde olup, bu değerlerden birisi pozitif (IV dördün), diğer negatif (III dördün) olmalı
- Parabol yukarı açık olduğundan, tepe noktası en düşük noktadır ve negatif y olmalı
Tepe noktası koordinatları:
x_t = -\frac{b}{2a} = -\frac{a^2 -8a +15}{2}, \quad y_t = f(x_t)
y_t < 0 olmalıdır.
Parametre a İçin Çözüm
y_t = f\left(-\frac{a^2 -8a +15}{2}\right) < 0
Çözülerek:
a^2 -8a + 15 > 0 \implies (a-3)(a-5)>0 \implies a<3 \text{ veya } a>5
Parametre değerlerinin sentetik analizi sonucu, y_t<0 koşulu a<3 veya a>5 verir. Ancak köklerin ve grafik dördünlerinin koşullarından sadece ara 3 < a < 5 aralığında grafik sadece III ve IV. dördünlerde yerleşir.
Böylece:
\boxed{3 < a < 5}
şartı sağlanmalıdır.
Özet Tablo
| Özellik | Detay |
|---|---|
| Fonksiyon | y = (a^2 -8a +15)x + x^2 -16 |
| Grafik Dördünleri | Yalnızca III ve IV |
| Parametre Aralığı | 3 < a < 5 |
| Parabol Açılışı | Yukarı |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden a için bu aralık seçildi?
Çünkü tepe noktası y<0 ve kökler uygun işaretlerde olmalı, bu da ancak 3 < a < 5 aralığında sağlanır.
2. Parabol neden sadece III ve IV dördünlerde olur?
Yukarı açılan parabolun tepe noktası negatif ve kökler pozitif ve negatif olduğunda, grafik sadece alt yarı düzlemde kalır.
3. Katsayının a^2 -8a +15 ifadesi neden önemli?
Bu ifade fonksiyonun doğrusal terimi ve tepe noktasının konumunu belirler, bu da grafiğin dördünlerdeki yerleşimini etkiler.
Sonraki Adımlar
İsterseniz bu tür fonksiyonların grafiklerini çizme yöntemlerini veya dördünler hakkında daha fazla bilgi isteyen soruları da çözebilirim. Devam etmek ister misiniz?