Resimli Soru 31-05-2025 20:04:32

YKS TYT
1

IMG_20250531_183445_339
IMG_20250531_183445_3391200×1600 159 KB

2

Soru:
a ve b gerçek sayılar olmak üzere:

  • a^2 + 2 \cdot b^2 = 46
  • a - b^2 = 1

eşitlikleri veriliyor. Buna göre a + b^2 toplamı kaçtır?

Çözüm:

Soruda verilen denklemleri kullanarak adım adım ilerleyelim:

Adım 1 - İkinci Denklemden $a$’yı Bulma

İkinci denklemden a değeri şu şekilde ifade edilebilir:

a = b^2 + 1

Adım 2 - İlk Denklemde a Yerine b^2 + 1 Yazma

Birinci denkleme a = b^2 + 1 değerini yerleştiriyoruz:

(b^2 + 1)^2 + 2b^2 = 46

Parantezi açarak ve düzenleme yaparak devam edelim:

b^4 + 2b^2 + 1 + 2b^2 = 46
b^4 + 4b^2 + 1 = 46

Denklemi sadeleştirelim:

b^4 + 4b^2 - 45 = 0

Adım 3 - Yeni Denklemde Kök Bulma

Bu, bir ikinci derece polinom şeklindedir. Kökleri bulmak için u = b^2 değişkenini yapıyoruz:

u^2 + 4u - 45 = 0

Şimdi bu denklem için delta hesaplayarak devam edelim:

\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45)
\Delta = 16 + 180 = 196

Delta pozitif olduğu için kökleri şöyle hesaplıyoruz:

u = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
u = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{2}
u = \frac{-4 \pm 14}{2}

Adım 4 - Kökleri Bulma

  1. u_1 = \frac{-4 + 14}{2} = 5
  2. u_2 = \frac{-4 - 14}{2} = -9

b^2 negatif olamayacağından, yalnızca b^2 = 5 geçerlidir.

Adım 5 - a ve a + b^2 Hesaplama

b^2 = 5 olduğunda, ikinci denklemden:

a = b^2 + 1 = 5 + 1 = 6

Son olarak:

a + b^2 = 6 + 5 = 11

Cevap:

B) 11

Adım İşlem Sonuç
1. $a$’yı bulma a = b^2 + 1 a = b^2 + 1
2. Yerleştirme (b^2 + 1)^2 + 2b^2 = 46 b^4 + 4b^2 - 45
3. Kök bulma \Delta = 196, u_1 = 5, u_2 = -9 b^2 = 5
4. a hesaplama a = b^2 + 1 a = 6
5. Toplam a + b^2 = 6 + 5 11

@mutlu_mutlu1

3

a² + 2·b² = 46 ve a – b² = 1 eşitliklerini sağlayan gerçek sayılar a ve b için, a + b² değerini bulmamız istenmektedir.

İçindekiler

  1. Problemin Genel Özeti
  2. Temel Terimler ve Tanımlar
  3. Adım Adım Çözüm Yöntemi
    1. Denklemleri Düzenleme
    2. Değişkenlerin İfade Edilmesi
    3. Denklem Çözümü ve Diskriminant
  4. Özet Tablo
  5. Sonuç ve Önemli Noktalar
  6. Kısa Bir Özet

1. Problemin Genel Özeti

Bu problemde, iki bilinmeyenli bir sistem verilmiştir:

  1. a^2 + 2b^2 = 46
  2. a - b^2 = 1

Burada a ve b birer gerçek sayıdır. Amacımız, “a + b²” ifadesinin sayısal değerini bulmaktır. Belirlenen seçeneklerden doğru sonucu tespit ederek, soruyu çözmemiz bekleniyor.

2. Temel Terimler ve Tanımlar

  • Gerçek Sayı (Real Number): Karmaşık olmayan, sayı doğrusundaki tüm değerlere verilen isimdir (örneğin 2, -5, π vb.).
  • Kare (Kuvvet) İşlemi: Bir sayının karesinin alınması, sayının kendisiyle çarpılması demektir (örnek: b^2 = b \cdot b).
  • Denklem Sistemi: İki veya daha fazla denklemin birlikte çözülmesi durumudur. Burada iki denklemimiz olduğu için, sistem iki değişken (a ve b) içerir.

3. Adım Adım Çözüm Yöntemi

3.1 Denklemleri Düzenleme

Verilen denklemler:

  1. a^2 + 2b^2 = 46
  2. a - b^2 = 1

Amacımız a + b² ifadesini bulmaktır.

3.2 Değişkenlerin İfadelerinin Elde Edilmesi

İkinci denklemden ( a - b^2 = 1 ) şu şekilde $a$’yı ifade edebiliriz:
a = 1 + b^2

3.3 Denklem Çözümü ve Diskriminant

  1. a yerine (1 + b²) yazma
    Birinci denklem olan a^2 + 2b^2 = 46 formülünde a yerine (1 + b^2) ifadesini koyalım.

    a^2 = (1 + b^2)^2 = 1 + 2b^2 + (b^2)^2 = 1 + 2b^2 + b^4

    Dolayısıyla,
    a^2 + 2b^2 = (1 + 2b^2 + b^4) + 2b^2 = 1 + 4b^2 + b^4

    Verilen denklem 46 eşit olduğuna göre:
    1 + 4b^2 + b^4 = 46

  2. Kareli polinomun çözümlenmesi
    b^4 + 4b^2 + 1 = 46
    ➔
    b^4 + 4b^2 + 1 - 46 = 0
    ➔
    b^4 + 4b^2 - 45 = 0

    Bu ifadeyi daha rahat çözmek adına x = b^2 şeklinde tanım yapalım. Böylece denklemi:
    x^2 + 4x - 45 = 0
    haline getirmiş oluruz.

  3. İkinci Derece Denklemin Çözümü
    x^2 + 4x - 45 = 0

    • Diskriminant (Δ) hesabı:
      \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196
    • Köklere geçiş:
      x = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 14}{2}
    • İki çözüm:
      x_1 = \frac{-4 + 14}{2} = \frac{10}{2} = 5,\quad x_2 = \frac{-4 - 14}{2} = \frac{-18}{2} = -9

    Ancak x = b^2 olduğundan b² negatif olamaz. Bu nedenle geçerli çözüm b^2 = 5 olur.

  4. a Değerinin Bulunması
    İkinci denklemden ( a - b^2 = 1 ):
    a = 1 + b^2
    Burada b^2 = 5 olduğuna göre:
    a = 1 + 5 = 6

  5. İstenen İfade: a + b²
    a + b^2 = 6 + 5 = \boxed{11}

Dolayısıyla bu sistem için a + b² = 11 sonucuna ulaşırız.

4. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda her bir adımın kısa bir özetini görmektedir:

Adım İşlem Sonuç
1) Denklem Sistemi a² + 2b² = 46,
a – b² = 1		 Belirlendi
2) a’nın İfadesi a = 1 + b² a’yı b² cinsinden yazdık
3) Birinci Denkleme Yerleştirme (1+b²)² + 2b² = 46 b⁴ + 4b² + 1 = 46
4) Yeni Değişken (x = b²) x² + 4x - 45 = 0 Diskriminant = 196
5) b² Değerini Bulma b² = 5 (negatif kök reddedildi) b² = 5
6) a Değerini Bulma a = 1 + 5 a = 6
7) a + b² Hesaplama 6 + 5 = 11 11

5. Sonuç ve Önemli Noktalar

  • Denklem sisteminde b^2 için iki olası çözüm çıkmıştır: 5 ve -9. Ancak reel sayılarda b^2 \ge 0 olmak zorunda olduğu için b^2 = -9 fiziksel olarak kabul edilemez.
  • b^2 = 5 değerini sisteme geri koyduğumuzda a değeri kolaylıkla 6 olarak bulunur.
  • Sonuçta a + b² = 11 elde edilir ve bu, sorunun çoktan seçmeli kısmında B) 11 seçeneğine karşılık gelmektedir.

6. Kısa Bir Özet

Bu problemde verilen iki denklemden biri, a ile b^2 arasında basit bir bağıntı (a = 1 + b^2) sunmuştur. Diğer denklem ise a^2 + 2b^2 = 46 formunda olup, bu bağıntı yardımıyla tek değişkenli ( b^2 ) bir denkleme dönüştürülmüştür. Ortalama bir ikinci derece denklem çözümü (kuadratik formül) sonucunda bir pozitif, bir negatif değer bulunsada b^2 negatif olamayacağından b^2 = 5 seçilir. Bu değer ile a = 6 bulunur ve finalde a + b^2 = 11 değerlendirilir.

Cevap: 11

@mutlu_mutlu1