Soru:
20 m/s sabit hızla alçalmakta olan bir balondan yere göre 10 m/s hızla bir cisim fırlatılıyor. Balon ile cisim aynı anda yere ulaştığına göre, cisim atıldığı anda balonun yerden yüksekliği kaç metredir?
(g=10\, m/s^2, hava direnci önemsiz)
Çözüm:
Verilenler:
| Büyüklük | Değer | Birim |
|---|---|---|
| Balonun iniş hızı (v_b) | 20 | m/s (aşağı) |
| Cismin fırlatma hızı (v_c) | 10 | m/s (yukarı) |
| Yerçekimi ivmesi (g) | 10 | m/s² |
| Balonun yüksekliği (h) | ? | m |
Problemin Analizi:
- Balon sabit hızla aşağı doğru iniyor, yani ivmesi yok.
- Cisim balondan yukarı doğru 10 m/s hızla fırlatılıyor.
- Balon ve cisim aynı anda yere ulaşıyor.
- Hava direnci ihmal ediliyor.
1. Balonun yere ulaşma süresi:
Balon sabit hızla v_b = 20\, m/s aşağı iniyor ve yüksekliği h.
Balonun yere inme süresi:
t_b = \frac{h}{v_b} = \frac{h}{20}
2. Cismin yere düşme süresi:
Cisim balondan yukarı doğru v_c = 10\, m/s hızla fırlatılıyor. Yerden yüksekliği h.
Cismin hareketi serbest düşme ve yukarı fırlatma hareketi birleşimi.
Cismin konum denklemi (yukarı pozitif):
y(t) = h + v_c t - \frac{1}{2} g t^2
Cisim yere ulaştığında y(t) = 0 olur.
Buna göre:
0 = h + 10 t - 5 t^2
veya
5 t^2 - 10 t - h = 0
3. Balon ve cismin yere ulaşma süreleri eşit:
t_b = t_c = t
Yani:
\frac{h}{20} = t
4. Cismin hareket denklemi kökleri:
Denklem:
5 t^2 - 10 t - h = 0
Kökler:
t = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-h)}}{2 \cdot 5} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 h}}{10}
Pozitif kök alınır:
t = \frac{10 + \sqrt{100 + 20 h}}{10}
5. Süre eşitliği:
t = \frac{h}{20} = \frac{10 + \sqrt{100 + 20 h}}{10}
Her iki tarafı 20 ile çarparak:
h = 2 \left(10 + \sqrt{100 + 20 h} \right)
Dağıtalım:
h = 20 + 2 \sqrt{100 + 20 h}
Her iki tarafı 20 çıkaralım:
h - 20 = 2 \sqrt{100 + 20 h}
Her iki tarafı 2’ye bölelim:
\frac{h - 20}{2} = \sqrt{100 + 20 h}
Karesini alalım:
\left(\frac{h - 20}{2}\right)^2 = 100 + 20 h
\frac{(h - 20)^2}{4} = 100 + 20 h
Her iki tarafı 4 ile çarpalım:
(h - 20)^2 = 400 + 80 h
Açalım:
h^2 - 40 h + 400 = 400 + 80 h
Her iki taraftan 400 çıkaralım:
h^2 - 40 h = 80 h
Toplayalım:
h^2 - 40 h - 80 h = 0
h^2 - 120 h = 0
h(h - 120) = 0
Buradan:
h = 0 \quad \text{veya} \quad h = 120
h=0 fiziksel olarak anlamlı değil (balon yere sıfır yükseklikte değil).
Sonuç:
Balonun yerden yüksekliği h = \boxed{120\, m}'dir.
Özet Tablosu:
| Büyüklük | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| Balonun iniş hızı (v_b) | 20 m/s | Sabit hızla aşağı iniyor |
| Cismin fırlatma hızı (v_c) | 10 m/s | Yukarı doğru fırlatılıyor |
| Yerçekimi ivmesi (g) | 10 m/s² | Sabit |
| Balonun yüksekliği (h) | 120 m | Bulunan sonuç |
| Balonun yere varma süresi | t = \frac{h}{20} = 6 s | Aynı anda yere varıyorlar |
| Cismin yere varma süresi | t = 6 s | Aynı anda yere varıyorlar |
Doğru cevap: B) 120
Soru: Balon ile cisim aynı anda yere ulaştığına göre, cisim atıldığı anda balonun yerden yüksekliği kaç metredir?
İçindekiler
1. Soru Özeti
- Bir balon, sabit 20 m/s hızıyla aşağı doğru hareket ediyor.
- Balondan, yere göre 10 m/s başlangıç hızıyla yukarı yönde bir cisim fırlatılıyor.
- G = 10 m/s², hava direnci ihmal ediliyor.
- Balon ve cisim, fırlatma anı referans alınarak aynı anda yere ulaşıyor.
- Amaç: Fırlatma anında balonun yerden hangi yükseklikte olduğunu bulmak.
2. Kinematik Analiz
Bu problemde iki türlü hareket var:
• Cismin hareketi: Başlangıçta yukarı yönde atılan cisim, yerçekimi etkisiyle ivmeli olarak hareket ediyor (düşey doğrultuda –10 m/s² ivme).
• Balonun hareketi: Sabit hızla aşağı doğru olan düzgün hareket.
Her iki cismin de yere inme süreleri eşit olduğu için, aynı zaman parametresi t kullanılarak iki hareket denklemi kurulacak ve ortak zaman değeri bulunup yüksekliğe ulaşacağız.
3. Cismin Düşey Hareket Denklemi
Fırlatma anında cismin konumu y_0 = h ve başlangıç hızı $v_0 = +10,$m/s (yukarı doğru pozitif seçiyoruz). İvme $a = -10,$m/s².
Düşey konum denklemi:
$
y(t) = h + v_0,t + \tfrac12,a,t^2
$
Yer seviyesi y = 0 olduğunda:
$
0 = h + 10,t - 5,t^2
$
Bundan h ifadesi elde edilir:
$
h = 5,t^2 - 10,t
$
4. Balonun Düşey Hareketi
Balonun ilk yüksekliği yine h, hızı $v = -20,$m/s (aşağı doğru negatif yönde), ivmesi 0.
Düzgün hareket denklemi:
$
y_{\text{balon}}(t) = h + v,t = h - 20,t
$
Yer seviyesi y=0 olduğunda:
$
0 = h - 20,t
\quad\Longrightarrow\quad
h = 20,t
$
5. Zamanın Bulunması
Cisim ve balonun yere çarpma zamanları eşit olduğundan, iki h ifadesi birbirine eşitlenir:
$
5,t^2 - 10,t = 20,t
$
Denklemi düzenleyelim:
$
5,t^2 - 10,t - 20,t = 0
;\Longrightarrow;
5,t^2 - 30,t = 0
;\Longrightarrow;
5,t,(t - 6) = 0
$
Fiziksel olarak t=0 fırlatma anı, anlamsız olduğundan
$t = 6,$s alınır.
6. Yükseklik Hesabı
Balonun fırlatma anındaki yüksekliği
$
h = 20,t = 20 \times 6 = 120\ \text{m}
$
Cevap: 120 m
7. Özet Tablo
| Büyüklük | Denklemi | Sonuç |
|---|---|---|
| Cismin hareketi | 0 = h + 10\,t - 5\,t^2 | h = 5t^2-10t |
| Balonun hareketi | 0 = h - 20\,t | h = 20t |
| Zaman | 5t^2 - 30t = 0\;\Rightarrow\;t=6 s | – |
| Balon yüksekliği h | h = 20 \times 6 | 120 m |
8. Sonuç
Sorunun çözümünde:
- Düzgün hız (balon) ve sabit ivmeli hareket (cisim) denklemleri ayrı ayrı kuruldu.
- Ortak iniş zamanları eşitlendi ve $t=6,$s bulundu.
- Bu zamandaki balon yüksekliği \mathbf{120\ \text{m}} olarak hesaplandı.
Doğru seçenek: B) 120