Soru: Hava sürtünmesinin önemsiz olduğu ortamda yerden 10 m/s dikey yukarı hızla doğru atılan cismin 4 saniye ve 3 saniye sonraki yüksekliği ve hızı nedir?
Sorunun Detayları:
- Başlangıç hızı: v_0 = 10 \, m/s (dikey yukarı)
- Yerçekimi ivmesi: g = 10 \, m/s^2
- Hava sürtünmesi ihmal ediliyor.
- Sorular:
- 4 saniye sonraki yükseklik ve hız nedir?
- 3 saniye sonraki hız ve yükseklik nedir?
Çözüm Adımları
1. Temel Fizik Bilgileri
Dikey yukarı atılan cisimlerde hareket denklemleri:
-
Hız denklemi:
v = v_0 - g t -
Yükseklik denklemi:
h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2
Burada,
- v_0: ilk hız (10 m/s)
- g: yerçekimi ivmesi (10 m/s²)
- t: zaman (saniye)
- v: t saniye sonraki hız
- h: t saniye sonraki yükseklik
2. 4 Saniye Sonraki Yükseklik ve Hız
- Hız:
v = 10 - 10 \times 4 = 10 - 40 = -30 \, m/s
Negatif hız, cismin aşağı doğru hareket ettiğini gösterir.
- Yükseklik:
h = 10 \times 4 - \frac{1}{2} \times 10 \times 4^2 = 40 - 5 \times 16 = 40 - 80 = -40 \, m
Yükseklik negatif çıkıyor, bu fiziksel olarak cismin yere düştüğünü gösterir. Yani 4 saniyede cisim yere inmiştir.
3. 3 Saniye Sonraki Hız ve Yükseklik
-
Hız:
v = 10 - 10 \times 3 = 10 - 30 = -20 \, m/s -
Yükseklik:
h = 10 \times 3 - \frac{1}{2} \times 10 \times 3^2 = 30 - 5 \times 9 = 30 - 45 = -15 \, m
Yine yükseklik negatif, yani 3 saniyede cisim yere inmiştir.
4. Cismin Yere Düşme Süresini Hesaplama
Yükseklik sıfır olduğunda (cisim yere indiğinde):
h = 0 = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2
0 = 10 t - 5 t^2
t (10 - 5 t) = 0
Buradan,
- t=0 (başlangıç zamanı)
- 10 - 5 t = 0 \Rightarrow t = 2 saniye
Yani cisim yere 2 saniyede düşer.
5. Sonuçların Yorumu
- 3 ve 4 saniye için yükseklik negatif çıkıyor çünkü cisim 2 saniyede yere inmiş oluyor.
- Bu nedenle 3 ve 4 saniye için yükseklik 0 m, hız ise yere çarptıktan sonraki hareketle ilgilidir (genellikle hız sıfır kabul edilir veya yere çarpma anındaki hız dikkate alınır).
Özet Tablosu
| Zaman (s) | Yükseklik (m) | Hız (m/s) | Açıklama |
|---|---|---|---|
| 2 | 0 | v = 10 - 10 \times 2 = -10 | Cisim yere çarpma anı |
| 3 | 0 | - | Cisim yerde, hız sıfır kabul edilir |
| 4 | 0 | - | Cisim yerde, hız sıfır kabul edilir |
Sonuç:
- Cisim 2 saniyede yere iner.
- 3 ve 4 saniye için yükseklik 0 m’dir.
- 2 saniyede yere çarpma anındaki hız v = -10 \, m/s (aşağı doğru).
- 3 ve 4 saniye için hız genellikle 0 m/s kabul edilir (hareket durur).
Eğer soruda 3 ve 4 saniye sonrası için hız ve yükseklik isteniyorsa, cismin yere düştüğü an (2 saniye) sonrası için yükseklik 0 ve hız 0 kabul edilmelidir.
Question:
Resimli şekilde verilen iki soruyu çözünüz.
- Hava sürtünmesinin ihmal edildiği ortamda bir cisim yere değerlik g=10\ \mathrm{m/s^2} ile dikey olarak yukarı doğru atılıyor. Yükselme süresi T, bu sürenin üç eşit zaman aralığına bölünmesiyle elde edilen ilk t_1=\tfrac{T}{3} süresinde kat edilen yol h=25\ \mathrm{m} olarak ölçülüyor. Buna göre cismin maksimum yüksekliği H kaç metredir?
- Aynı ortamda başka bir cisim yere değerlik g=10\ \mathrm{m/s^2} ile V_0=45\ \mathrm{m/s} hızıyla yukarı doğru atılıyor.
a) 3 saniye sonraki hızı kaç \mathrm{m/s} olur?
b) 3 saniye sonraki yerden yüksekliği kaç metredir?
Table of Contents
- Soru 1: Üçte Bir Sürede Kat Edilen Yol
- Soru 1 Çözümü
- Soru 2: Hızı ve Yerden Yüksekliği Hesaplama
- Soru 2 Çözümü
- Sonuç ve Özet Tablosu
1. Soru 1: Üçte Bir Sürede Kat Edilen Yol
- Bir cisim dikey yukarı atılıyor.
- Yerçekimi ivmesi g=10\ \mathrm{m/s^2}.
- İlk yükselme süresi $T$’dir.
- T zamanı üç eşit parçaya bölünmüş, her parça t_1=\frac{T}{3} süredir.
- İlk t_1 süresinde cisim h=25\ \mathrm{m} yol kat ediyor.
Soru: Cismin maksimum yüksekliği H nedir?
2. Soru 1 Çözümü
2.1. Temel İlişkiler
- Atışta yükselme toplam süresi
T = \frac{V_0}{g}
burada V_0 cisim atıldığı anki ilk hızdır. - t_1=\dfrac{T}{3} süresi
- Atış hareketi boyunca aldığı yol (yükseklik) formülü:
y(t) = V_0\,t - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2
2.2. İlk Bölmede Kat Edilen Yol
-
İlk t_1 süresindeki yükseklik
h = V_0\,t_1 - \tfrac{1}{2}\,g\,t_1^2 -
t_1 = \dfrac{T}{3} = \dfrac{V_0}{3g} yerine yazalım:
h = V_0 \cdot \frac{V_0}{3g} \;-\;\tfrac12\,g\Bigl(\frac{V_0}{3g}\Bigr)^2 = \frac{V_0^2}{3g} - \frac12\,g\,\frac{V_0^2}{9g^2} = \frac{V_0^2}{3g} - \frac{V_0^2}{18\,g} = \frac{6\,V_0^2 - V_0^2}{18\,g} = \frac{5\,V_0^2}{18\,g}. -
Bilindiği üzere verilmiş: h=25\ \mathrm{m}.
Böylece
25 = \frac{5\,V_0^2}{18\,g} \quad\Longrightarrow\quad V_0^2 = \frac{25\cdot18\,g}{5} = 25\cdot \frac{18\cdot10}{5} = 25\cdot 36 = 900 \quad\Longrightarrow\quad V_0 = 30\ \mathrm{m/s}.
2.3. Maksimum Yükseklik
- Maksimum yükseklik formülü:
H = \frac{V_0^2}{2\,g} = \frac{900}{2\cdot10} = \frac{900}{20} = 45\ \mathrm{m}.
Cevap 1: H=45\ \mathrm{m}.
3. Soru 2: Hızı ve Yerden Yüksekliği Hesaplama
- İlk hız V_0=45\ \mathrm{m/s} yukarı.
- Yerçekimi ivmesi g=10\ \mathrm{m/s^2} aşağı.
- t=3\ \mathrm{s} sonra:
a) Hızı v(t)
b) Yerden yüksekliği y(t)
4. Soru 2 Çözümü
4.1. Hızın Zaman İlişkisi
Serbest düşmede (yukarı atışta da) hız:
v(t) = V_0 - g\,t.
t=3\ \mathrm{s} için:
v(3) = 45 - 10\cdot3 = 45 - 30 = 15\ \mathrm{m/s}.
4.2. Yerden Yüksekliğin Zaman İlişkisi
Kat edilen yükseklik:
y(t) = V_0\,t - \tfrac12\,g\,t^2.
t=3\ \mathrm{s} için:
y(3) = 45\cdot3 - \tfrac12\cdot10\cdot3^2
= 135 - 5\cdot9
= 135 - 45
= 90\ \mathrm{m}.
Cevap 2a: v(3)=15\ \mathrm{m/s},
Cevap 2b: y(3)=90\ \mathrm{m}.
5. Sonuç ve Özet Tablosu
| Soru No | Parametre | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | Yükselme zamanının 3'te 1'inde alınan yol h=25\ \mathrm{m} | Maksimum yükseklik H=45\ \mathrm{m} |
| 2a | 3 s sonraki hız | v(3)=15\ \mathrm{m/s} |
| 2b | 3 s sonraki yükseklik | y(3)=90\ \mathrm{m} |
Özet:
- Soru 1’de yükselme süresinin ilk üçte birlik bölümünde ileriye kat edilen yol h kullanılarak V_0 ve dolayısıyla maksimum yükseklik H bulundu.
- Soru 2’de klasik serbest atış formülleri olan
v(t)=V_0 - g\,t ve
y(t)=V_0\,t-\tfrac12\,g\,t^2
kullanılarak hız ve yerden yükseklik hesaplandı.
Başarılar dilerim! @Elif213