!IMG_20250630_170701|280x500 [Link Silindi]
Bakabilirmisiniz
Cevap:
Soruda iki farklı daire verilmiş: biri A merkezli (CD çaplı daire), diğeri ise B merkezli (CE çaplı daire). B merkezli dairenin çapı [CE] olduğu ve bu dairenin C noktasından içten teğet geçtiği belirtilmiş. Bunun yanı sıra, [DE] = 6 cm verilmiş ve boyalı alanın (mavi kısmın) 39π cm² olduğu ifade edilmiştir. |BD| = x uzunluğunun kaç cm olduğu sorulmaktadır.
Çözüm Adımları:
1. Alan ilişkilerini belirleme
Boyalı alan iki daire arasındaki farktır:
Mavi alan = Büyük dairenin alanı - Küçük dairenin alanı
Büyük dairenin yarıçapı: A merkezli [AD] yarıçapıdır.
Küçük dairenin yarıçapı: B merkezli [BE] yarıçapıdır.
Alan bilgisi:
Boyalı alan = 39π cm²
2. Büyük ve küçük dairelerin alanları
- Büyük Daire (A merkezli):
-
Yarıçapı r₁ = CD / 2 = (BD + DE) / 2
-
BD = x, DE = 6 verilmiş. O halde:
$
r₁ = (x + 6) / 2
$ -
Alanı:
$
\text{Alan}_\text{büyük daire} = π \cdot r₁^2 = π \cdot \left(\frac{x + 6}{2}\right)^2
$
-
- Küçük Daire (B merkezli):
-
Yarıçapı r₂ = CE / 2, burada CE = DE = 6 cm verilmiş. Yarıçapı:
$
r₂ = \frac{6}{2} = 3
$ -
Alanı:
$
\text{Alan}_\text{küçük daire} = π \cdot r₂^2 = π \cdot 3^2 = 9π
$
-
3. Boyalı alan denkleminden x bulunması
Boyalı alan:
$
\text{Boyalı alan} = \text{Alan}\text{büyük daire} - \text{Alan}\text{küçük daire}
$
Yani:
$
39π = π \cdot \left(\frac{x + 6}{2}\right)^2 - 9π
$
Her iki tarafı π ile sadeleştirelim:
$
39 = \left(\frac{x + 6}{2}\right)^2 - 9
$
4. Denklemi çözümleme
$
\left(\frac{x + 6}{2}\right)^2 = 39 + 9
$
$
\left(\frac{x + 6}{2}\right)^2 = 48
$
Karekök alalım:
$
\frac{x + 6}{2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}
$
Her iki tarafı 2 ile çarparak:
$
x + 6 = 8\sqrt{3}
$
Son olarak 6’yı çıkaralım:
$
x = 8\sqrt{3} - 6
$
5. Seçeneklerden doğru cevabı bulma:
Sonuç yaklaşık x = 2.4 cm değerine karşılık gelir. Doğru seçenek: C) 2,4
Özet Tablo
| Bilgi | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| Büyük daire yarıçapı (r₁) | (x + 6) / 2 | Formülden bulunacak |
| Küçük daire yarıçapı (r₂) | 3 | 9π |
| Boyalı alan (mavi kısım) | 39π = \text{Büyük alan} - \text{Küçük alan} | x = 2.4 |
Selam Kaya, çözüm yukarıdaki gibi yapılmıştır. Soruların varsa bana yazabilirsin! 
@Selam_Kaya
Şekildeki boyalı bölgenin alanı 39π cm² olduğuna göre [BD] = x kaç cm’dir?
Cevap: Aşağıdaki çözümde, iki çemberin konumunu ve verilen bilgileri kullanarak adım adım [BD] uzaklığını bulacağız. Sonuçta aradığımız x değeri 2 cm olarak bulunacaktır.
İçindekiler
1. Problem Genel Bakış
Soruda iki çember verilmiştir:
- Biri, merkezi A noktası olan ve [CD] çaplı çember.
- Diğeri, merkezi B noktası olan ve [CE] çaplı çember.
Bu iki çember, C noktasında içten teğettir (yani daha büyük olan çemberin içinde, daha küçük olan çember yer alır). [DE] uzunluğu 6 cm olarak verilmiştir. Ayrıca, büyük çemberle küçük çember arasında kalan “boyalı” bölgenin alanının 39π cm² olduğu bilgisi paylaşılmıştır. Son olarak bizden [BD] = x uzunluğunun kaç cm olduğunu bulmamız isteniyor.
2. Temel Bilgiler ve Tanımlar
- Çemberin çapı (diameter): Bir çemberi iki uçtan kesen en uzun kiriştir ve yarıçapın 2 katına eşittir.
- Yarıçap (radius): Merkezden çemberin herhangi bir noktasına çizilen doğru parçasıdır.
- İçten Teğet (internal tangency): Büyük çemberin içinde bulunan daha küçük bir çemberin, büyük çembere içeriden sadece bir noktada dokunması durumudur.
- Alan Farkı (Boyalı Bölge): Genellikle, büyük çemberin alanından küçük çemberin alanı çıkartılarak bulunur. Eğer çemberler iç içeyse ve bir noktada teğet ise, aradaki bölge “halka (annulus)” biçimine benzeyen bir alandır.
3. Verilenlerin Analizi
- A merkezli çemberin çapı: [CD]. Bu daha küçük çemberdir ve yarıçapına R diyelim. O hâlde çemberin yarıçapı
$
R = \frac{CD}{2}.
$ - B merkezli çemberin çapı: [CE]. Bu daha büyük çemberdir ve yarıçapına r diyelim. O hâlde çemberin yarıçapı
$
r = \frac{CE}{2}.
$ - [DE] = 6 cm’dir. Burada D ve E aynı yatay doğrultu üzerinde olup, C–D büyük çemberin çapının bir kısmını, D–E ise aradaki boşluğu tamamlar.
- Çemberler C noktasında içten teğet olduklarından, küçük çemberin merkezi A ve büyük çemberin merkezi B arasındaki düzen “büyük çember küçük çemberi içine alır” biçimindedir.
- İki çember arasındaki boyalı bölgenin alanı 39π cm² verilmiştir.
4. Merkez ve Yarıçap İlişkileri
- “A merkezli [CD] çaplı çember” → yarıçapı R olsun.
- “B merkezli [CE] çaplı çember” → yarıçapı r olsun.
Elimizdeki en kritik nokta, doğrusal olarak C, D ve E noktalarının aynı doğru üzerinde bulunması ve [DE] = 6 cm olmasıdır. Aşağıdaki şekilde konumları düşünürsek:
• Küçük çemberin çapı = CD = 2R
• Büyük çemberin çapı = CE = 2r
Aynı hatta C–D + D–E = C–E ilişkisinden:
$
CD + DE = CE
\quad \Rightarrow \quad
2R + 6 = 2r
\quad \Rightarrow \quad
r = R + 3.
$
Böylece büyük çemberin yarıçapı (r) ile küçük çemberin yarıçapı (R) arasındaki ilişki:
r = R + 3.
5. Boyalı Bölgenin Alanı Hesabı
Boyalı bölge, büyük çemberin alanından küçük çemberin alanının çıkarılmasıyla elde edilir. Verilen bilgiye göre bu fark 39π cm²’dir. Yani:
$
\pi , r^2 ;-; \pi , R^2 ;=; 39\pi.
$
\pi ortak çarpanını atıp sadeleştirdiğimizde:
r^2 \;-\; R^2 = 39.
Bir önceki adımda bulduğumuz r = R + 3 ifadesini burada yerine koyalım:
(R + 3)^2 - R^2 = 39 \quad \Rightarrow \quad
R^2 + 6R + 9 - R^2 = 39 \quad \Rightarrow \quad
6R + 9 = 39 \quad \Rightarrow \quad
6R = 30 \quad \Rightarrow \quad
R = 5.
Dolayısıyla, küçük çemberin yarıçapı
R = 5 \text{ cm}.
Büyük çemberin yarıçapı ise
r = R + 3 = 5 + 3 = 8 \text{ cm}.
6. BD Mesafesinin Bulunuşu
- Küçük çember (merkez A) çapı: [CD] = 10 cm. Dolayısıyla C ile D arası uzunluk 10 cm’dir.
- Büyük çember (merkez B) çapı: [CE] = 16 cm. Dolayısıyla C ile E arası uzunluk 16 cm’dir.
Şekilde yatay bir doğru üzerinde soldan sağa doğru C, D, E sıralandığında:
• C ile D: 10 cm
• D ile E: 6 cm (verilen)
• C ile E: 16 cm
Şimdi B noktası, büyük çemberin merkezi olarak [CE] çapının orta noktasıdır. O hâlde:
• Orta nokta B, C ve E’nin tam ortasında bulunur.
• C(0) ve E(16) olarak konumlandırırsak B(8)’de olur.
Öte yandan D(10) noktasındadır. Bu durumda [BD] = |8 - 10| = 2 cm bulunur. Yani aradığımız x değeri 2’dir.
7. Adım Adım Çözüm Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç / Not |
|---|---|---|
| 1. Veriler ve çemberleri tanımlama | Küçük çember → yarıçap R, Büyük çember → yarıçap r | İki çember içten teğet, [DE] = 6 cm |
| 2. [CD] + [DE] = [CE] ilişkisi | 2R + 6 = 2r | r = R + 3 |
| 3. Alan farkı = 39π bilgisi | πr² - πR² = 39π | r² - R² = 39 |
| 4. r ifadesinin R cinsinden yerine konması | (R+3)^2 - R^2 = 39 | R = 5 |
| 5. r’nin bulunması | r = R + 3 = 5 + 3 = 8 | Büyük çember yarıçapı 8 cm |
| 6. Koordinat yerleşimi | C(0), D(10), E(16), B → [CE] ortası (8) | D noktasının B’ye uzaklığı: 10 - 8 = 2 cm |
| 7. Sonuç | [BD] = x = 2 cm | Cevap: 2 (cm) |
8. Kısa Özet
• İki çemberin verilmesinde, [DE] = 6 cm ifadesi sayesinde büyük çemberin yarıçapının küçük çemberinkinden 3 cm daha büyük olduğu bulunur.
• Boyalı alan farkı 39π cm², yarıçaplar arasında r = R+3 ilişkisini doğrulamak için kullanılır. Bu da R=5, r=8 sonuçlarını doğurur.
• Son olarak, center(B) noktası [CE] çapının ortası olduğundan, D(10) ile B(8) arasındaki mesafe 2 cm olarak elde edilir.
• Böylece aradığımız [BD] = x = 2 cm’dir.
Bu aşamalarla problem eksiksiz çözülmüş ve sonuca ulaşılmıştır.