Aşağıda eni 36 metre boyu 45 metre olan dikdörtgensel karton verilmiştir. Bu karton kesilerek eş kare parçalara ayrılacaktır. Buna göre oluşan kare parça sayısı en az kaçtır?
Sorunun Çözümü:
Bu problemde, verilen dikdörtgen şeklindeki kartonun eni 36 metre, boyu 45 metredir. Bu karton, eş kare parçalara bölünecektir. Burada amaç, karelerin kenar uzunluğunun en büyük olması ve böylece kare sayısının en az olmasıdır.
Adım 1: Karelerin Kenar Uzunluğunu Bulmak
Karelerin kenar uzunluğu, hem 36 metreyi hem de 45 metreyi tam bölmelidir. Yani, kare kenar uzunluğu 36 ve 45’in ortak böleni olmalıdır.
- En büyük ortak bölen (EBOB) bu durumda karelerin kenar uzunluğunu verir.
Adım 2: 36 ve 45’in EBOB’unu Hesaplayalım
36 ve 45 sayılarının asal çarpanlarına bakalım:
- 36 = 2^2 \times 3^2
- 45 = 3^2 \times 5
Ortak asal çarpanlar: 3^2 = 9
Yani,
EBOB(36, 45) = 9
Adım 3: Karelerin Kenar Uzunluğu ve Parça Sayısı
- Her karenin kenar uzunluğu: 9 metre
- Kartonun eni: 36 metre → 36 ÷ 9 = 4 parça
- Kartonun boyu: 45 metre → 45 ÷ 9 = 5 parça
Toplam kare sayısı:
4 \times 5 = 20
Sonuç:
Karton en az 20 eş kare parçaya ayrılır.
Özet Tablosu
| Özellik | Değer |
|---|---|
| Dikdörtgen eni | 36 metre |
| Dikdörtgen boyu | 45 metre |
| Karelerin kenar uzunluğu | 9 metre (EBOB) |
| Kare sayısı (en az) | 20 |
Doğru cevap: D) 20
Eğer başka sorularınız olursa, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! @Derscolic
Soru: Aşağıda eni 36 metre, boyu 45 metre olan dikdörtgensel karton verilmiştir. Bu karton kesilerek eş kare parçalara ayrılacaktır. Buna göre oluşan kare parça sayısı en az kaçtır?
İçindekiler
- Problemin Anlaşılması
- Matematiksel Yaklaşım
2.1. EBOB (En Büyük Ortak Bölen)
2.2. Kare Kenar Uzunluğunun Bulunması - Parça Sayısının Hesaplanması
- Örnek Tablo ile Özette
- Adım Adım Çözüm Özeti
- Sonuç ve Cevap
1. Problemin Anlaşılması
Elimizde eni 36 m ve boyu 45 m olan bir dikdörtgen karton var. Bu kartonu, mümkün olan en büyük kare parçalar elde edecek şekilde, eş kare parçalara bölmek istiyoruz.
- Amaç: Parçaların kare olması ve tüm parçaların birbirinin aynı (eş) olması
- Ek şart: En az sayıda kare parça elde etmek
Bu tür sorularda, kare parça sayısını en aza indirmek demek, kesimde kullanacağımız karenin kenar uzunluğunu mümkün olduğunca büyük seçmek demektir. Ve bu büyük kenar uzunluğu, iki dikdörtgen kenarının (36 ve 45) ortak bölenlerinden en büyüğü olacaktır.
2. Matematiksel Yaklaşım
2.1. EBOB (En Büyük Ortak Bölen) Hesabı
İki sayının en büyük ortak böleni (EBOB), bu iki sayıyı bölünebildiği en büyük pozitif tam sayıdır. Dikdörtgeni eş karelere bölmek için kare kenarı uzunluğu, eni ve boyu tam bölmelidir.
36 ve 45’in EBOB’unu Euclid algoritması ile bulalım:
- 45 ÷ 36 = 1 kalan 9
- 36 ÷ 9 = 4 kalan 0
Kalan sıfır olduğunda, bir önceki kalan (yani 9) EBOB’tur.
Dolayısıyla
EBOB(36,45) = 9\; \text{metre}
2.2. Kare Kenar Uzunluğunun Bulunması
Bulduğumuz EBOB = 9 m, dolayısıyla kartonu keseceğimiz en büyük karelerin bir kenarı 9 metredir.
3. Parça Sayısının Hesaplanması
Kare kenar uzunluğu $9;$m olduğuna göre:
- Yatayda kaç kare: 36 ÷ 9 = 4
- Dikeyde kaç kare: 45 ÷ 9 = 5
Toplam kare sayısı, yatay çarpı dikey şeklinde hesaplanır:
\text{Parça Sayısı} = 4 \times 5 = 20
Alternatif olarak alanlarla kontrol edebiliriz:
- Dikdörtgenin alanı: $36 \times 45 = 1620;$m²
- Her bir karenin alanı: $9 \times 9 = 81;$m²
- Parça sayısı: 1620 ÷ 81 = 20
Sonuç her iki yöntemle de aynıdır: 20 adet.
4. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Dikdörtgen kenarları | 36 m ve 45 m | – |
| 2. EBOB(36,45) hesaplama | 45 mod 36 = 9; 36 mod 9 = 0 | 9 m |
| 3. Kare kenarı | EBOB = 9 m | 9 m |
| 4. Yatay kare adedi | 36 ÷ 9 = 4 | 4 |
| 5. Dikey kare adedi | 45 ÷ 9 = 5 | 5 |
| 6. Toplam parça sayısı | 4 \times 5 = 20 | 20 |
5. Adım Adım Çözüm Özeti
- EBOB tespiti: En büyük ortak bölen, iki kenarı da tam bölen en büyük uzunluk.
- Euclid Algoritması ile $EBOB(36,45)=9;$m bulundu.
- Bu değerin kare kenarı olarak kullanılması, parça sayısını minimize eder.
- Yatayda 36/9 = 4, dikeyde 45/9 = 5 kare elde edilir.
- Toplamda 4\times5=20 adet kare parça ortaya çıkar.
6. Sonuç ve Cevap
Dolayısıyla, kartonu eş kare parçalara ayırdığımızda en az 20 adet kare elde edilir.
Cevap şıkkı: D) 20