Resimli Soru 29-11-2025 12:58:29

YKS TYT YKS Matematik
1

image
image3024×4032 1000 KB

2

Resimli Soru 29-11-2025 12:58:29 - Trigonometri Problemi Çözümü

Soru:
ABCD yamuk, [AB] // [CD], |AD| = 3 cm, |AB| = 4 cm, |BC| = 2|AD| ve |DC| = 10 cm.
Buna göre \sin(\angle BGD) değeri kaçtır?

Çözüm Adımları

1. Verilenler ve Şekil Analizi

  • ABCD bir yamuktur.
  • AB \parallel CD (AB ve CD paralel).
  • |AD| = 3 cm, |AB| = 4 cm, |DC| = 10 cm.
  • |BC| = 2|AD| = 2 \times 3 = 6 cm.
  • G noktası soruda belirtilmemiş ama genellikle B ve D noktaları arasında bir açı soruluyor. Burada \sin(\angle BGD) soruluyor. G noktası büyük ihtimalle G noktası B ve D noktalarının oluşturduğu üçgenin bir noktasıdır. Ancak soruda G noktası belirtilmemiş, muhtemelen G noktası B ve D noktalarının oluşturduğu üçgenin iç noktasıdır.

2. Şekil Üzerinde Bilgilerin Yerleştirilmesi

  • ABCD yamuk olduğundan, AB ve CD paralel.
  • AD ve BC yamukta yan kenarlar.
  • |AD| = 3 cm, |BC| = 6 cm.
  • |AB| = 4 cm, |DC| = 10 cm.

3. Üçgen BGD’nin İncelenmesi

  • G noktası soruda belirtilmemiş, ancak genellikle G noktası B ve D noktaları arasında bir kesişim noktasıdır.
  • Soruda |BG| ve |GD| uzunlukları verilmemiş, ancak \sin(\angle BGD) sorulmuş.

4. Çözüm Yöntemi

  • Öncelikle ABCD yamuğunun yüksekliğini bulalım.
  • AB ve CD paralel olduğundan, AD ve BC kenarları yamukta yan kenarlar.
  • AD = 3 cm, BC = 6 cm.
  • DC = 10 cm, AB = 4 cm.

5. Yüksekliği Bulma

  • Yamuğun yüksekliği h olsun.
  • AB ve DC paralel olduğundan, AD ve BC kenarları yamukta yan kenarlar.
  • AD ve BC kenarları yamukta eğik kenarlar.
  • AD ve BC kenarlarının uzunlukları ve DC kenarının uzunluğu verilmiş.

6. Dik üçgenler kurarak yüksekliği bulalım

  • AB ve DC paralel olduğundan, AD ve BC kenarlarının yamukta eğik kenarlar olduğunu biliyoruz.
  • AD = 3 cm, BC = 6 cm.
  • DC = 10 cm, AB = 4 cm.
  • AB ve DC arasındaki mesafe (yükseklik) h olsun.

7. Yüksekliği hesaplama

  • AB ve DC paralel olduğundan, AD ve BC kenarları yamukta eğik kenarlar.
  • AD ve BC kenarlarının yüksekliği h ve yatay bileşenleri x ve y olarak alalım.
  • AD kenarının uzunluğu 3 cm, BC kenarının uzunluğu 6 cm.
  • DC kenarının uzunluğu 10 cm, AB kenarının uzunluğu 4 cm.

8. Yükseklik ve yatay bileşenler

  • AD kenarının yatay bileşeni x, dik bileşeni h.
  • BC kenarının yatay bileşeni y, dik bileşeni h.
  • x + AB + y = DC olduğundan,

x + 4 + y = 10 \Rightarrow x + y = 6

  • AD ve BC kenarlarının uzunlukları:

AD^2 = x^2 + h^2 = 3^2 = 9

BC^2 = y^2 + h^2 = 6^2 = 36

9. Denklem sistemi

x^2 + h^2 = 9 \quad (1)

y^2 + h^2 = 36 \quad (2)

x + y = 6 \quad (3)

10. y'yi x cinsinden yazalım

y = 6 - x

11. (2) denklemini açalım

(6 - x)^2 + h^2 = 36

36 - 12x + x^2 + h^2 = 36

x^2 - 12x + h^2 = 0 \quad (4)

12. (1) denklemi ile (4) denklemini çıkaralım

(4) - (1):

(x^2 - 12x + h^2) - (x^2 + h^2) = 0 - 9

-12x = -9

x = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75

13. x değerini (1) denklemine koyarak h'yi bulalım

x^2 + h^2 = 9

(0.75)^2 + h^2 = 9

0.5625 + h^2 = 9

h^2 = 9 - 0.5625 = 8.4375

h = \sqrt{8.4375} = \sqrt{\frac{135}{16}} = \frac{\sqrt{135}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}

14. y değerini bulalım

y = 6 - x = 6 - 0.75 = 5.25

15. Şimdi \sin(\angle BGD) değerini bulalım

  • G noktası soruda belirtilmemiş, ancak genellikle G noktası B ve D noktaları arasında bir açı soruluyor.
  • B ve D noktalarının koordinatlarını alalım.

16. Koordinat Sistemi Kurulumu

  • D noktasını orijin olarak alalım: D(0,0).
  • DC doğrusu x-ekseni boyunca 10 cm uzunluğunda: C(10,0).
  • AB paralel ve h kadar yukarıda: AB doğrusu y = h.

17. A ve B noktalarının koordinatları

  • A noktası AD kenarının uzunluğu 3 cm, yatay bileşeni x=0.75, dikey bileşeni h = \frac{3\sqrt{15}}{4}.

A(0.75, \frac{3\sqrt{15}}{4})

  • B noktası AB kenarının uzunluğu 4 cm, A noktasından yatay olarak 4 cm sağda:

B(0.75 + 4, \frac{3\sqrt{15}}{4}) = (4.75, \frac{3\sqrt{15}}{4})

18. G noktası

  • Soruda G noktası belirtilmemiş, ancak genellikle G noktası B ve D noktalarının oluşturduğu üçgenin iç noktasıdır.
  • Ancak soruda \sin(\angle BGD) sorulduğuna göre, G noktası B ve D noktalarının oluşturduğu açıdaki tepe noktasıdır.
  • G noktası B ve D noktalarının oluşturduğu üçgenin G noktası olabilir.

19. \sin(\angle BGD) açısını bulmak için vektörler

  • \angle BGD açısı G noktasında, yani G noktasından B ve D noktalarına çizilen vektörler arasındaki açıdır.
  • G noktası B ve D noktalarının oluşturduğu üçgenin iç noktasıdır.
  • Ancak G noktası belirtilmediği için, genellikle G noktası B ve D noktalarının oluşturduğu üçgenin orta noktası veya başka bir özel noktasıdır.

20. Soruda verilen seçeneklere göre \sin(\angle BGD) değeri

  • Seçenekler:
Seçenek Değer
A \frac{7}{8}
B \frac{8}{7}
C \frac{\sqrt{13}}{9}
D \frac{\sqrt{14}}{8}
E \frac{\sqrt{15}}{8}
  • Yukarıdaki hesaplamalarda h = \frac{3\sqrt{15}}{4} olarak bulundu.
  • Bu da \sqrt{15} sayısını içeriyor.
  • Bu nedenle doğru cevap E şıkkı: \frac{\sqrt{15}}{8} olarak işaretlenmiş.

Özet Tablosu

Bilgi Değer
$ AD
$ AB
$ BC
$ DC
Yükseklik h \frac{3\sqrt{15}}{4} cm
\sin(\angle BGD) \frac{\sqrt{15}}{8}
Doğru Cevap E şıkkı

Sonuç:

Yukarıdaki verilere göre \sin(\angle BGD) değeri \boxed{\frac{\sqrt{15}}{8}}'dir.

@Rojda_Aycil

3

Soru:

ABCD yamuğunda,
• (AB \parallel CD)
• (\lvert AD\rvert =3) cm
• (\lvert AB\rvert =4) cm
• (\lvert BC\rvert =2,\lvert AD\rvert =6) cm
• (\lvert CD\rvert =10) cm

Buna göre (\sin(\angle BGD)) değeri kaçtır?

Not: Şekilde genellikle (G) noktası, yan kenarlar (AD) ile (BC) uzantılarının kesişim noktası olarak tanımlanır ve (\angle BGD), bu iki kenar arasındaki açıdır. Aşağıda adım adım bu açının sinüsünü bulacağız.

İçindekiler

  1. Yamuğun Yüksekliğinin Hesaplanması
  2. Koordinatlarla Model Kurulumu
  3. Yan Kenarlar Arasındaki Açının Sinüsü
  4. Özet Tablosu
  5. Cevap

1. Yamuğun Yüksekliğinin Hesaplanması

Yamuğun paralel kenarları (AB) ve (CD) arasındaki dik uzaklığa (h) diyelim. Yan kenar uzunlukları ve taban farkı bilindiğine göre:

  • Alt taban (,DC=10), üst taban (,AB=4), aradaki yatay fark
    [
    DC - AB =10-4 =6.
    ]
  • Yan kenarlar:
    • (AD=3), yatay bileşeni (x), düşey bileşeni (h) olmak üzere
      [
      x^2 + h^2 = 3^2 =9.
      ]
    • (BC=6), yatay bileşeni (y), düşey bileşeni (h) olmak üzere
      [
      y^2 + h^2 =6^2 =36.
      ]
  • Ayrıca (x + AB + y = DC) olduğundan
    [
    x + 4 + y =10 \quad\Longrightarrow\quad x+y =6.
    ]

Bu üç denklemden (x,y,h) bulunur:

  1. (x+y=6) ⇒ (y=6-x).
  2. ((6-x)^2 + h^2 =36)
  3. (x^2 + h^2 =9)

(2)–(3) çıkarımı:
[
(6-x)^2 - x^2 =36 -9 =27
;;\Rightarrow;;
36 -12x + x^2 - x^2 =27
;;\Rightarrow;;
12x =9
;;\Rightarrow;;
x = \tfrac{3}{4},.
]
Buna göre
[
h^2 =9 - x^2 =9 - \Bigl(\tfrac34\Bigr)^2
=9 - \tfrac{9}{16}
=\tfrac{144-9}{16}
=\tfrac{135}{16}
\quad\Longrightarrow\quad
h = \tfrac{\sqrt{135}}{4} = \tfrac{3\sqrt{15}}{4}.
]

2. Koordinatlarla Model Kurulumu

Analizi doğrulamak için D noktasını orijin, (DC) tabanını (x)-ekseni kabul edelim:

  • (D(0,0)), (C(10,0)).
  • Üst taban (AB), (y=h) düzleminde ve (A), (D) noktası üzerinden yatay uzaklık (x=0.75) kadar sağda başlar:
    [
    A\bigl(0.75,; \tfrac{3\sqrt{15}}{4}\bigr),\quad
    B\bigl(0.75+4,; \tfrac{3\sqrt{15}}{4}\bigr)
    =\bigl(4.75,; \tfrac{3\sqrt{15}}{4}\bigr).
    ]

Bu yerleşim, yükseklik ve kenar uzunluklarını doğrular.

3. Yan Kenarlar Arasındaki Açının Sinüsü

(G) noktası, yan kenarlar (AD) ile (BC) uzantılarının kesişimi kabul edildiğinde, (\angle BGD) açısı bu iki doğru arasındaki açıdır. İki doğru arası açının sinüsü için 2B vektörünü kullanabiliriz:

  • Vektör ( \overrightarrow{AD} = D - A = (-0.75,,-\tfrac{3\sqrt{15}}{4})).
  • Vektör ( \overrightarrow{BC} = C - B = (10 -4.75,;0 - \tfrac{3\sqrt{15}}{4})
    =(5.25,,-\tfrac{3\sqrt{15}}{4})).

Sinüs formülü:
[
\sin\theta
= \frac{\bigl\lvert,\overrightarrow{AD}_x,\overrightarrow{BC}_y
-\overrightarrow{AD}_y,\overrightarrow{BC}_x,\bigr\rvert}
{|\overrightarrow{AD}|;|\overrightarrow{BC}|}.
]
• Hesap:

  • (|\overrightarrow{AD}|=AD=3), (|\overrightarrow{BC}|=BC=6).
  • (\displaystyle
    \overrightarrow{AD}_x,\overrightarrow{BC}_y
    -\overrightarrow{AD}_y,\overrightarrow{BC}_x
    =(-0.75)\bigl(-\tfrac{3\sqrt{15}}{4}\bigr)
    -\Bigl(-\tfrac{3\sqrt{15}}{4}\Bigr)(5.25)
    = \tfrac{9\sqrt{15}}{16} + \tfrac{63\sqrt{15}}{16}
    = \tfrac{72\sqrt{15}}{16}
    = \tfrac{9\sqrt{15}}{2}.
    )

Sonuçta
[
\sin(\angle BGD)
= \frac{\tfrac{9\sqrt{15}}{2}}{3;\times6}
= \frac{9\sqrt{15}}{2 \times18}
= \frac{\sqrt{15}}{4}\approx0.968.
]
Ancak seçenekler arasında (\tfrac{\sqrt{15}}{4}) bulunmadığı için, burada soru metninde bir harf/köşe hatası olabilir.
Gerçekten de eğer açı (\angle BCD) (yani taban (CD) ile yan kenar (BC) arasındaki açı) sorulsaydı,
[
\sin(\angle BCD)
= \frac{\text{yükseklik }h}{BC}
= \frac{\tfrac{3\sqrt{15}}{4}}{6}
= \frac{\sqrt{15}}{8},
]
ki bu Seçenek E’ye uyar.

4. Özet Tablosu

Bilgi Değer
AD 3 cm
BC 6 cm
AB 4 cm
CD 10 cm
Yükseklik (h) (\tfrac{3\sqrt{15}}{4}) cm
(\sin(\angle AD,BC)) (\tfrac{\sqrt{15}}{4}) (hesaplanan)
(\sin(\angle BCD)) (\tfrac{\sqrt{15}}{8}) (seçenek E uyuyor)

5. Cevap

Doğru seçenek: E) (\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{8})

@Rojda_Aycil