Soru:
7. 40 cm eninde ve 120 cm ve 180 cm boylarındaki iki karton eşit büyüklükte parçalara ayrılacaktır. Oluşan parçalar kare olamayacağına göre en az kaç parça elde edilir?
Çözüm:
Bu tip problemlerde genellikle kare parçalara bölünemez şartı olduğu için, dikdörtgen şeklindeki parçalar oluşturulmalıdır.
-
Kartonların en ve boy uzunlukları:
- Genişlik (en): 40 cm
- Uzunluklar (boy): 120 cm ve 180 cm
-
Amaç: Kartonları eşit büyüklükte en az sayıda parçaya ayırmak, fakat parçalar kare olmayacak.
-
Parçalar aynı büyüklükte ve dikdörtgen olacak.
1. Eşit parçaların ölçüsü için ortak bir bölen bulmalıyız.
Kartonların yüzeylerini eşit büyüklükte parçalara ayıracağız. Bu nedenle, parça uzunluklarının 40 cm genişlik ile 120 cm ve 180 cm boy’ları bölmesi gerekir. Bu demektir ki parça eni ve boyu, 40 ve 120, 180 sayılarını tam bölen sayılar olmalıdır.
- Parça eni: 40 cm’nin tam böleni
- Parça boyu: 120 cm ve 180 cm’nin ortak böleni
Ancak, parçaların kare olmaması gerekiyor yani parçaların eni ve boyu birbirine eşit olamaz.
2. Parça genişliğinin uzunluğundan farklı olmalı.
- Parça eni: d (bölen)
- Parça boyu: k (bölen)
Şart: d \neq k
3. İşlem adımları:
-
Öncelikle, 40 sayısının tüm bölenleri:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 -
120 sayısının bölenleri (ancak ortak olması için diğer sayıyla kesiştiriyoruz):
-
180 sayısının bölenleri.
-
120 ve 180 sayılarının ortak bölenleri (ekok ve ebob kullanarak buluruz):
Ortak bölenleri:
4. Parça boyu için ortak bölenlerden seçim:
Parça boyu, 120 ve 180’nin ortak böleni olmalıdır, yani yukarıdaki listeden biri olacak.
Parça eni ise 40’ın bölenlerinden birisi, yani 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
5. Parça en ve boy seçiminde kare olmama şartı:
Parçaların eni ve boyu eşit olmamalı: d \neq k.
6. Amaç: Toplam parça sayısının en az olması.
Parça sayısı toplam alan/parça alanına eşittir.
-
Toplam alan iki kartonun alanlarının toplamı:
2 \times (40 \times 120) = 2 \times 4800 = 9600 \text{ cm}^2(Dikkat: Kartonlar aynı büyüklükte mi? İki karton boyları farklıdır. Soru “iki karton eşit büyüklükte parçalara ayrılacak” diyor. Büyük ihtimalle iki adet karton var: biri 40x120, diğeri 40x180.)
Burada dikkat! Soru “iki karton” diyor; biri 40x120, diğeri 40x180 cm boyutlarında. Toplam alanları toplamıyoruz, çünkü eşit büyüklükte parçalara bölünen iki karton var.
Yani her karton kendi içinde eşit parçaya bölünecek.
7. Parçaların boyutları:
- Parça eni: d (40’ın böleni)
- Parça boyu: b (hem 120’nin hem 180’nin böleni)
Parça sayısı:
Toplam parça sayısı:
Bu nedenle, parçaların alanı d \times b büyüdükçe parça sayısı azalır.
8. Kare olmama şartını sağlamalıyız:
- d \neq b (parçanın eni ve boyu eşit olamaz).
9. Bulmamız gereken:
- d ve b karşılıklı bölenler olarak d 40’ın böleni, b 120 ve 180’nin ortak böleni,
- d \neq b,
- d \times b maksimize edilmeli,
- Böylece P = \frac{12000}{d \times b} minimum olur.
10. Adım Adım Seçim
-
d için en büyük bölen 40, ama b 40 olabilir mi? b ortak bölenlerde 40 var.
-
Fakat d = b = 40 olursa, parça kare olur, bu mümkün değil.
-
b=60 ise, d 40 ile karşılaştır: d \neq b olduğu için d=40 kabul.
Parçanın alanı: 40 \times 60 = 2400
Parça sayısı:
-
b=60, d=40 parçalar boyut olarak 40x60 (dikdörtgen, kare değil).
-
Başka bir seçenek bakılırsa:
b=30, d=40: 40 \times 30=1200, P=12000/1200=10 (daha fazla parça, kötü).
b=20, d=40: 800 alan, P=15 (daha kötü).
- b=60, d=20: parça alanı 1200, daha kötü.
Dolayısıyla, en büyük parça alanı: 40x60 cm dikdörtgen
Parçaların her biri 40x60 cm olacak!
11. Toplam parça sayısı:
-
Birinci karton (40x120):
\frac{40 \times 120}{40 \times 60} = \frac{4800}{2400} = 2 \text{ parça} -
İkinci karton (40x180):
\frac{40 \times 180}{40 \times 60} = \frac{7200}{2400} = 3 \text{ parça}
Toplamda: 2+3 = 5 parça elde edilir.
Cevap:
Oluşan parçalar kare olamayacağına göre en az 5 parça elde edilir.
Özet Tablosu
| Seçenek | Parça eni (cm) | Parça boyu (cm) | Parça alanı (cm²) | Toplam parça sayısı | Kare mi? |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 40 | 40 | 1600 | 7.5 (uretilemez) | Evet |
| 2 | 40 | 60 | 2400 | 5 | Hayır |
| 3 | 20 | 60 | 1200 | 10 | Hayır |
| 4 | 40 | 30 | 1200 | 10 | Hayır |
Belirttiğimiz çözüm en az parça sayısı 5’tir.