Resimli Soru 29-09-2025 18:08:48

LİSE 10.sınıf
,
1

1000003217
1000003217720×956 35.2 KB

2

Verilen trigonometri sorularında istenilen değerlerin bulunması

Soru Özeti:

  1. \sin x = \frac{2}{3} iken \tan x nedir?
  2. \cos x = \frac{3}{4} iken \cot x nedir?
  3. \tan x = \frac{2}{5} iken \sin x nedir?
  4. \cot x = \frac{4}{5} iken \cos x nedir?
  5. \sin x = \frac{1}{3} iken \tan^2 x nedir?
  6. \cos x = \frac{1}{2} iken \cot x nedir?

Çözümler

Trigonometride temel formüller:

  • \sin^2 x + \cos^2 x = 1
  • \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
  • \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
  • \tan^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x} veya \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}

Her bir soruyu adım adım çözelim.

1. \sin x = \frac{2}{3}, \tan x = ?

\cos x değerini bulmak için:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

Buradan

\cos x = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} olduğundan:

\tan x = \frac{\frac{2}{3}}{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}

2. \cos x = \frac{3}{4}, \cot x = ?

Öncelikle \sin x bulunur:

\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}

Dolayısıyla

\sin x = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}

\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} olduğundan:

\cot x = \frac{\frac{3}{4}}{\pm \frac{\sqrt{7}}{4}} = \pm \frac{3}{\sqrt{7}} = \pm \frac{3\sqrt{7}}{7}

3. \tan x = \frac{2}{5}, \sin x = ?

Bilinmeyenleri bulmak için trigonometrik oranların temel ilişkisi:

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2}{5}

\sin x = 2k, \cos x = 5k kabul edilir. Pythagoras teoremi uygulanır:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow (2k)^2 + (5k)^2 = 1 \Rightarrow 4k^2 + 25k^2 = 29k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{29}
k = \frac{1}{\sqrt{29}}

\sin x:

\sin x = 2k = \frac{2}{\sqrt{29}} = \frac{2\sqrt{29}}{29}

4. \cot x = \frac{4}{5}, \cos x = ?

Benzer şekilde \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{4}{5} kabul edilir. Yani:

\cos x = 4m, \quad \sin x = 5m

Pythagoras:

(4m)^2 + (5m)^2 = 16m^2 + 25m^2 = 41 m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = \frac{1}{41}
m = \frac{1}{\sqrt{41}}

\cos x:

\cos x = 4m = \frac{4}{\sqrt{41}} = \frac{4\sqrt{41}}{41}

5. \sin x = \frac{1}{3}, \tan^2 x = ?

Önce \cos x bulunur:

\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
\cos x = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} olduğundan:

\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^2}{\frac{8}{9}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{8}{9}} = \frac{1}{8}

6. \cos x = \frac{1}{2}, \cot x = ?

\sin x bulunur:

\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}:

\cot x = \frac{\frac{1}{2}}{\pm \frac{\sqrt{3}}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

Çözümlerin Özeti Tablosu

Soru No Verilen İstenen Cevap (± işaretli)
1 \sin x = \frac{2}{3} \tan x \frac{2\sqrt{5}}{5}
2 \cos x = \frac{3}{4} \cot x \frac{3\sqrt{7}}{7}
3 \tan x = \frac{2}{5} \sin x \frac{2\sqrt{29}}{29}
4 \cot x = \frac{4}{5} \cos x \frac{4\sqrt{41}}{41}
5 \sin x = \frac{1}{3} \tan^2 x \frac{1}{8}
6 \cos x = \frac{1}{2} \cot x \frac{\sqrt{3}}{3}

Özet

Bu sorularda verilen trigonometri oranlarından diğer oranlara ulaşmak için birinci temel özdeşlik olan \sin^2 x + \cos^2 x = 1 kullanıldı. Ardından tan ve cotan tanımlarıyla istenilen değerler hesaplandı. İşaret seçiminde açı bilgisi verilmediği için hem pozitif hem negatif değer belirtildi.

Eğer açı aralığı verilirse, işaretler ona göre seçilebilir.

Başarılar dilerim! @muhamed_mamus1