Resimli Soru 29-01-2026 16:18:40

YKS TYT
1

IMG-20260129-WA0001
IMG-20260129-WA0001720×960 26.5 KB

2

Resimli Soru 29-01-2026 16:18:40

• Birim çemberde OA=1 ve \angle BOB'=α
• A(\cosα,\sinα), izdüşümü B'(1,0) olan B(1,\tanα)
• Mesafe formülünden |AB|=\dfrac{1-\cosα}{\cosα}

Cevap: C seçeneği: \frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha}

İçindekiler

  1. Temel Kavramlar
  2. |AB| Uzunluğu Hesaplama
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Temel Kavramlar

  • Çemberin merkezi O(0,0), yarıçapı 1’dir.
  • \angle BOB'=α olduğundan OB doğrusu x-ekseni ile α açısı oluşturur.
  • A noktası birim çember üzerinde, bu doğruda yer alır:
    A\bigl(\cos\alpha,\sin\alpha\bigr).
  • B noktası aynı doğru üzerinde ve B' izdüşümü (1,0) olduğuna göre
    $$B=c\bigl(\cos\alpha,\sin\alpha\bigr),\quad c\cos\alpha=1
    ;\Rightarrow; c=\tfrac1{\cos\alpha},$$
    B\bigl(1,\tan\alpha\bigr).

|AB| Uzunluğu Hesaplama

  1. İki nokta arası uzaklık:
    |AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
  2. Yerine koy:
    $$x_B-x_A=1-\cos\alpha,\quad y_B-y_A=\tan\alpha-\sin\alpha
    =\sin\alpha\Bigl(\tfrac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha}\Bigr).$$
  3. Kareleri topla:
    |AB|^2=(1-\cos\alpha)^2+\sin^2\alpha\frac{(1-\cos\alpha)^2}{\cos^2\alpha} =(1-\cos\alpha)^2\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} =\frac{(1-\cos\alpha)^2}{\cos^2\alpha}.
  4. Karekök al:
    |AB|=\frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha}.

Özet Tablosu

Parametre Değer
A noktası (\cos\alpha,\sin\alpha)
B noktası \bigl(1,\tan\alpha\bigr)
İstenen uzunluk \dfrac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha}

SSS

  1. B noktası neden (1,\tan\alpha) şeklinde bulunur?
  2. \tan\alpha-\sin\alpha farkı nasıl sadeleşir?
  3. Mesafe formülünde karekökü kapatan adım nedir?
  4. Sonuç başka hangi trigonometrik ifadeye dönüştürülebilir?

Bu yöntemi farklı \alpha değerleri için uygulayan birkaç alıştırma çözmek ister misiniz?

@Meral_Bektas

3

Resimli Soru Analizi ve Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen birim çemberde A noktası çember üzerindedir ve doğru üzerinde O, A, B sıralanmıştır.
  • B noktası ile x-ekseni üzerindeki dik izdüşümü B’(1,0) noktasıdır.
  • \angle BOB' = \alpha olarak verilmiştir.
  • Amaç: |AB| uzunluğunu bulmak.

İçindekiler

  1. Şeklin ve Verilerin İncelenmesi
  2. Kordinatların ve İlişkilerin Kurulması
  3. |AB| Uzunluğunun Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Şeklin ve Verilerin İncelenmesi

  • Çember birim çemberdir, yani yarıçap = 1.
  • O orijindir.
  • A, B noktasının doğru üzerindedir (Yani O, A, B doğru üzerindedir).
  • B’nin x-ekseni üzerine dik izdüşümü B'(1,0).
  • B’ noktası çember üzerinde olmadığı için B, çember dışındadır.
  • \angle BOB' = \alpha verilmiştir, bu açı orijinden bakınca B ve B’ noktaları arasındaki açıdır.

Kordinatların ve İlişkilerin Kurulması

  1. B’nin düzlemdeki koordinatlarını tanımlayalım:
    B noktası ile B’ noktası arasındaki dik çizgi dik açı oluşturur. B'=(1,0).

  2. \angle BOB' = \alpha olduğuna göre, B noktası orijine göre polar koordinatta:

    • B noktasının x koordinatı = |OB| \cos \alpha
    • B noktasının y koordinatı = |OB| \sin \alpha

  3. Çünkü B’ noktası (1,0), B noktası B’den dik olarak yukarıda veya aşağıdadır, ve bu dik mesafe |BB'|.

  4. Ayrıca, B' ile B arasındaki dik çizgi, B’nin x=1 dikey doğrusundadır.

Yani, B’nin x-koordinatı 1’dir. Ancak yukarıdaki varsayımda x_B = |OB| \cos \alpha.

Burada, B' noktası (1,0) olduğundan ve B ile B’ arasında dik çizgi olduğundan B’nin x-koordinatı 1’dir:

x_B = 1

y_B bilinmiyor, y_B = t.

|AB| Uzunluğunun Hesaplanması

A ve B noktaları arasındaki mesafeyi bulacağız.

Önce A’nın koordinatlarını belirleyelim:

  • A birim çember üzerindedir, yani
x_A^2 + y_A^2 = 1
  • O, A, B doğrusal olduğuna göre, A ile B aynı doğru üzerindedir.

O and A and B are collinear → vectorial relationship:
A birim çember üzerinde, B ise bu doğru üzerinde ve x_B=1.

Dikkat: A, çember üzerindedir ve |OA|=1.

A noktası, \alpha açısıyla çember üzerinde olduğu için:

A = (\cos \alpha, \sin \alpha)

B noktası ise x=1 dikey doğrusunda ve B\in OA doğrusunda olduğundan:

B = (1, y_B)

Bu doğru üzerindeki B noktası, O, A, B doğru olduğuna göre A ve B aynı doğru üzerindedir ve sıra O-A-B.

B noktası ile B' noktası arasındaki mesafe = |y_B -0| = |y_B|.

B’nin koordinatı (1, y_B) ve \angle BOB' = \alpha olduğundan, OB, OB' arasındaki açı \alpha.

Öncelikle OB' vektörü = (1,0).

OB vektörü = (1,y_B).

Bu iki vektörün açısı \alpha ise:

\cos \alpha = \frac{OB \cdot OB'}{|OB||OB'|} = \frac{1 \cdot 1 + y_B \cdot 0}{\sqrt{1 + y_B^2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + y_B^2}}

Buradan:

\sqrt{1 + y_B^2} = \frac{1}{\cos \alpha} \Rightarrow 1 + y_B^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}
y_B^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} -1 = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}
y_B = \pm \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \pm \tan \alpha

B noktası y_B = \tan \alpha veya -\tan \alpha.

Doğrusal ve pozitif açılara göre y_B = \tan \alpha alabiliriz.

|AB| uzunluğunu bulalım:

A = (\cos \alpha, \sin \alpha), \quad B = (1, \tan \alpha)
|AB| = \sqrt{(1 - \cos \alpha)^2 + (\tan \alpha - \sin \alpha)^2}
= \sqrt{(1 - \cos \alpha)^2 + \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \sin \alpha\right)^2}
= \sqrt{(1 - \cos \alpha)^2 + \left(\sin \alpha \cdot \frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha}\right)^2}
= \sqrt{(1 - \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha \cdot \frac{(1-\cos \alpha)^2}{\cos^2 \alpha}}
= \sqrt{(1 - \cos \alpha)^2 \left(1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right)} = (1 - \cos \alpha) \sqrt{1 + \tan^2 \alpha}
= (1 - \cos \alpha) \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha}

Cevap:

|AB| = \frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha}

Bu formül şıklarda C seçeneğine eşittir:

C) \frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha}

Özet Tablo

Adım Açıklama Sonuç/Formül
B noktası x koordinatı B’nin izdüşümü B’=(1,0) dik olduğundan x_B=1 x_B = 1
B noktası y koordinatı \angle BOB' = \alpha için y_B = \tan \alpha y_B = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
A noktası koordinatları Birim çember üzerinde, açısı \alpha A = (\cos \alpha, \sin \alpha)
B - A mesafesi

Sık Sorulan Sorular

1. Neden y_B = \tan \alpha olarak seçtik?
B, A ve O doğru üzerinde sıralı olduğundan ve açı ölçüsü pozitif olduğundan, yukarıdaki pozitif değer mantıklıdır.

2. |AB| mesafesi neden sadeleşti?
Çarpanlarda ortak olan (1-\cos \alpha) ifadesi alındıktan sonra trigonometrik kimliklerle sadeleşme gerçekleşti.

3. B’nin tam koordinatı nedir?

B = (1, \tan \alpha)

4. Sorunun görsel çözümü için alternatif yöntemler var mı?
Evet, analitik geometri dışında benzer üçgenler veya trigonometrik oranlar kullanılarak da çözüm yapılabilir.

Sonraki Adımlar

Bu tür trigonometri ve analitik geometri sorularının sıkça çıkması sebebiyle, birim çember ve doğrusal noktalar arasındaki mesafe hesaplamalarında genel formüller oluşturmamı ister misiniz?

@Meral_Bektas