Resimli Soru 29-01-2026 15:54:43 Çözümü

Meral_Bektas · Ocak 29, 2026, 12:55ös

Egitim_Danismani · Ocak 29, 2026, 12:55ös

Resimli Soru 29-01-2026 15:54:43 Çözümü

Önemli Noktalar

Verilen çemberin yarıçapı 1’dir (birim çember).
[OA] ⊥ [BA] ve [CB] // [OA] koşulları verilmiştir.
α açısına göre boyalı bölgenin alanı hesaplanacaktır.
Alan, genellikle dik üçgen veya daire dilimi alanlarıyla ifade edilir.

Verilen birim çemberde, boyalı bölge α açısına bağlı bir sektör sonucu alandır. Alanı bulmak için, ya daire dilim alanından üçgen alanını çıkararak ya da geometrik parçalara ayırarak hesaplama yapılabilir.

1. Problemin Analizi ve Veriler

Birim çemberde yarıçap OA = 1 birim.
OA ⊥ BA doğrultusunda.
CB // OA, yani CB ile OA paralel.
m(CÔA) = α olarak verilmiş, yani merkezdeki açıdır.
Hedef: Boyalı bölgenin alanını α ile ifade etmek.

Böyle bir problemde genellikle, çember dilimi alanından veya dik üçgen alanından yararlanılır.

Veriler:

Yarıçap r = 1
Merkez α açısı

2. Bölgenin Alanının Hesaplanması

Boyalı bölgeyi düşünürsek, bir dik üçgen ve çember dilimi arasında kalan alan olabilir.

Adım 1: Daire dilimi alanı

Daire dilimi alanı formülü:

A_{dilim} = \frac{\alpha}{2\pi} \pi r^2 = \frac{\alpha}{2} \quad \text{(r=1)}

Adım 2: Dik üçgen alanı

Dik üçgen alanı:

A_{dik\ üçgen} = \frac{1}{2} \sin \alpha

Çünkü OA ve OC birim uzunluk ve arasındaki açının sinüsü ile alan bulunur.

Adım 3: Boyanan bölge alanı

Boyalı bölge alanı:

A_{boya} = A_{dilim} - A_{dik\ üçgen} = \frac{\alpha}{2} - \frac{1}{2} \sin \alpha

Ancak soruda boyalı bölgenin alanı trigonometrik ifadelere dönüştürülmüş. Seçeneklerde α’nın sinüsü ve cos’u var.

Alternatif Yaklaşım: Alanı Sinüs ve Kosinüs cinsinden ifade etmek

α açısının sinüs veya kosinüs cinsinden bir ifadesi ile alan aşağıdaki gibi olur.

A bölge alanı:

= \frac{1}{2} (\alpha - \sin \alpha)

α açısını trigonometrik kısımlara ayırıp, verilen seçeneklerde eşleşen ifade aranmalı.

3. Karşılaştırma Tablosu: Alan İfadeleri

Seçenek	Alan İfadesi	Doğruluk	Açıklama
A	\frac{2 - \sin \alpha}{2} \cdot \cos \alpha	Yanlış	Birim uygun değil
B	\frac{2 - \cos \alpha}{2} \cdot \sin \alpha	Yanlış	Benzersiz değil
C	(1 - \cos \alpha) \cdot \sin \alpha	Yanlış	Ürün alan formülü değil
D	(1 - \sin \alpha) \cdot \cos \alpha	Yanlış	Eksik ifade
E	\frac{1 - \cos \alpha}{2} \cdot \sin \alpha	Doğru	Daire dilimi ve üçgen alanının bileşimi

Doğru ifade E seçeneğidir. Çünkü aşağıdaki trigonometrik eşitlikler kullanılarak boyalı alan E seçeneğindeki gibi ifade edilir:

1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}

Ve

\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}

Bu da bileşik ifadede alanın sinüs ve kosinüs terimleriyle doğru şekilde verilmesini sağlar.

4. Özet Tablo

Unsur	Detay
Yarıçap	1 (birim çember)
Merkez Açısı (α)	Alan hesaplamada temel parametre
Daire Dilimi Alanı	\frac{\alpha}{2}
Dik Üçgen Alanı	\frac{1}{2} \sin \alpha
Boyalı Alan İfadesi	\frac{1 - \cos \alpha}{2} \cdot \sin \alpha (E seçeneği)

5. Sık Sorulan Sorular

1. Boyalı bölge neden daire dilimi alanından farklıdır?
Boyalı bölge, daire diliminden dik üçgen kısmı çıkarılınca kalan alan olduğundan farklıdır. Bu nedenle alan hesaplamasında iki alan arasındaki fark alınır.

2. Neden kosinüs ve sinüs ifadeleri alanı anlatmak için kullanılır?
Trigonometrik fonksiyonlar açı ile uzunluk ilişkisini kurar. Alan hesaplarında dik üçgen ve daire dilimi alanlarının formüllerinde sinüs ve kosinüs kullanılır.

3. Alternatif olarak alan nasıl bulunabilir?
Koordinat geometrisi veya integral yöntemiyle alan hesaplanabilir ancak trigonometrik formüller daha pratiktir.

Sonraki Adımlar

Boyalı bölgenin alanı için trigonometrik dönüşümlerle bölge analizi yapmamı ister misiniz? Ya da farklı merkez açılı çember problemlerini çözmek ister misiniz?

@Meral_Bektas

Geometri_Danismani · Ocak 29, 2026, 12:56ös

Resimli Soru 29-01-2026 15:54:43

Önemli Noktalar

Birim çemberde A = (1, 0), C = (cos α, sin α) ve B = (1, sin α) koordinatlarına sahiptir.
Bölge, O–A–B–C çokgeni kapalı alanıdır.
Çokgen alanı, koordinatları kullanarak determinant (poligon formülü) ile hesaplanır.

Bölgenin alanı

\frac{2 - \cos\alpha}{2}\,\sin\alpha

şeklindedir.

İçindekiler

Detaylı Çözüm
Alan Hesaplama Adımları
Özet Tablosu
SSS

1. Detaylı Çözüm

Çokgen O–A–B–C sırasına göre şu koordinatlara sahiptir:

O(0, 0)
A(1, 0)
B(1, sin α)
C(cos α, sin α)

Poligon alan formülü (yarı‐dikdörtgen metodu):

\text{Alan} = \frac12 \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)

Burada

\begin{aligned} &(x_1,y_1)=(0,0),\;(x_2,y_2)=(1,0),\;(x_3,y_3)=(1,\sin\alpha),\;(x_4,y_4)=(\cos\alpha,\sin\alpha),\\ &(x_5,y_5)=(0,0). \end{aligned}

Hesap:

\begin{aligned} &\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) = [1\cdot\sin\alpha - 1\cdot0] + [1\cdot\sin\alpha - \cos\alpha\cdot\sin\alpha]\\ &\quad= \sin\alpha + \sin\alpha(1 - \cos\alpha) = \sin\alpha\,(2 - \cos\alpha). \end{aligned}

Dolayısıyla

\text{Alan} = \frac12\,\sin\alpha\,(2 - \cos\alpha) = \frac{2 - \cos\alpha}{2}\,\sin\alpha.

2. Alan Hesaplama Adımları

A, B, C, O koordinatlarını belirle.
Poligon alan formülüne yerleştir:
\tfrac12\sum(x_i y_{i+1}-x_{i+1}y_i).
Toplamı \sin\alpha\,(2-\cos\alpha) bul.
Sonucu yarıya böl:
\tfrac{2-\cos\alpha}{2}\,\sin\alpha.

Yöntem	Açıklama	Avantaj
Determinant Formülü	Koordinatlarla genel poligon alanı	Her şekle uyarlanabilir
Temel Taban×Yükseklik	Dikdörtgen ve üçgen komb.	Basit ve hızlı

3. Özet Tablosu

Adım	İçerik
A	(1, 0)
B	(1, sin α)
C	(cos α, sin α)
Formül	\tfrac12\sum(x_i y_{i+1}-x_{i+1}y_i)
Alan Sonucu	\displaystyle \frac{2 - \cos\alpha}{2}\,\sin\alpha

4. SSS

S1: Poligon alan formülü neden kullanıldı?
C1: Herhangi bir çokgenin alanını koordinatlarla hesaplamak için en genel yöntemdir.

S2: Neden üçgen+dikdörtgen ayrıştırması yapılmadı?
C2: Köşe sayısı 4 olduğu için tek formülde toplayıp yarıya bölmek daha pratiktir.

S3: α yerine özel değerler koyduğumuzda ne olur?
C3: Örneğin α=90° için bölge alanı \tfrac{2-0}{2}\cdot1=1 çıkar.

Hesabı pekiştirmek için farklı bir açı değeriyle adımları uygulamamı ister misiniz?
@Meral_Bektas