Resimli Soru 29-01-2026 14:25:00

YKS TYT
1

1000011268
10000112683072×4080 717 KB

2

Resimli Soru 29-01-2026 14:25:00

Önemli Noktalar

  • ABC üçgeninde kenar uzunlukları arasında verilen bağıntı
  • Bağıntı: \frac{a^2}{b^2} = c^2 - \sqrt{3} \cdot ab
  • m(c) açısının bulunması isteniyor

Üçgende kenar uzunluklarıyla ilgili verilen bağıntıyı kullanarak m(c) açısının derecesini bulabiliriz. Bu tür sorularda cosinüs teoremi ve trigonometri bağıntıları temel alınır.

İçindekiler

  1. Problemin Analizi
  2. Cosinüs Teoremi ve Çözüm
  3. Karşılaştırma Tablosu: Cosinüs Teoremi vs Sinüs Teoremi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Problemin Analizi

Verilen bağıntı:

\frac{a^2}{b^2} = c^2 - \sqrt{3} \cdot ab

İlk bakışta ifadenin biraz eksik ya da yanlış yazılmış olma ihtimali var, çünkü c^2 - \sqrt{3} ab ifadesi, a, b, c kenar uzunluklarıyla birlikte verilmiş ancak sol tarafta oran var ve eşitsizlik değil, eşitlik var.

Muhtemelen amaç, cosinüs teoreminin formuna benzer bir ifadeyi kullanarak m(c) açısının derecesini bulmak.

Genel cosinüs teoremi:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos m(c)

Burada m(c), c kenarının karşısındaki açıdır.

:light_bulb: Pro Tip: Soruda verilen ifadede cosinüs teoremini kullandığımızda \cos m(c) ifadesi ortaya çıkar. Bağıntıyı kıyaslayarak açıyı bulmak mümkün olur.

Cosinüs Teoremi ve Çözüm

Verilen bağıntı çok muhtemelen şu şekildedir (önce eşitliği düzenleyelim):

\frac{a^2}{b^2} = c^2 - \sqrt{3} ab

Ancak birim uyumu ve anlam bakımından bu ifade tam değil. Bu nedenle muhtemelen soru şu bağlamda verilmiş olabilir:

ABC üçgeninde aşağıdaki bağıntı vardır:

a^2 + b^2 = c^2 + \sqrt{3} ab

Bu ifade cosinüs teoremiyle uyumludur.

Eğer doğru ifade buysa cosinüs teoremine göre;

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos m(c)

Verilen ifadede a^2 + b^2 = c^2 + \sqrt{3} ab olduğu için, bunu yerine yazalım:

a^2 + b^2 = c^2 + \sqrt{3} ab \implies a^2 + b^2 - c^2 = \sqrt{3} ab

Ama cosinüs teoreminde a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos m(c) olduğundan:

2ab \cos m(c) = \sqrt{3} ab \implies 2 \cos m(c) = \sqrt{3} \implies \cos m(c) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Buradan m(c) şudur:

m(c) = 30^\circ

Karşılaştırma Tablosu: Cosinüs Teoremi vs Sinüs Teoremi

Özellik Cosinüs Teoremi Sinüs Teoremi
Formül c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
Kullanım Alanı Bir kenarın uzunluğu ve karşı açının bilinmesi durumunda diğer kenarların bulunması Açılar ile karşı kenarların oranlarının bilinmesi durumunda uzunlukların bulunması
Verilenler İki kenar ve aradaki açı veya üç kenar Bir açı ve karşısındaki kenar

Özet Tablo

Adım Detay
Bağıntıdan çıkarım a^2 + b^2 = c^2 + \sqrt{3} ab
Cosinüs teoremi ile kıyaslama a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos m(c)
Bağıntıdan eşitlik 2ab \cos m(c) = \sqrt{3} ab
Sonuç \cos m(c) = \frac{\sqrt{3}}{2}
Açı m(c) = 30^\circ

Sık Sorulan Sorular

1. Cosinüs teoremi nedir?
Cosinüs teoremi, herhangi bir üçgende bir kenarın karesinin diğer iki kenarın kareleri toplamı eksi çift çarpımları ile bu iki kenarın arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşit olduğunu söyler:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C

2. Bu soruda neden cosinüs teoremi kullandık?
Çünkü verilen eşitlik, üçgen kenar uzunluklarının karelerinin kombinasyonu ve çarpımları içeriyor. Bu tür ifadeler genellikle cosinüs teoremiyle ilişkilidir.

3. Cosinüs teoreminde açı nasıl bulunur?
Formülde c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C denklemi üzerinden cosinüs cinsinden açı değeri bulunur, sonrasında ters kosinüs (arccos) hesaplanır.

Sonraki Adımlar

Bu sorudaki trigonometri bilgisini pekiştirmek için size yardımcı olayım:

  1. Cosinüs teoreminin çeşitli uygulama örnekleri üzerinde çalışalım mı?
  2. Sinüs teoremiyle benzer problemleri nasıl çözeceğinizi göstereyim mi?

Hangi seçenekle devam etmek istersiniz?

@oguzhan_turker

3

Soru:

ABC üçgeninde kenar uzunlukları arasında

a^2 + b^2 = c^2 + \sqrt{3}\,ab

bağıntısı vardır. Buna göre m(\widehat{C}) kaç derecedir?

Önemli Noktalar

  • Kosinüs teoreminde
    \;a^2 + b^2 = c^2 + 2ab\cos C\; formülü kullanılır.
  • Verilen eşitlikten
    2ab\cos C = \sqrt{3}\,ab ⇒ \cos C = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • \cos C = \tfrac{\sqrt{3}}{2} ise
    C = 30^\circ.

İçindekiler

  1. Çözüm
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm

Kosinüs teoremi bize her üçgende

a^2 + b^2 - 2ab\cos C = c^2

olduğunu söyler. Bunu düzenlersek

a^2 + b^2 = c^2 + 2ab\cos C.

Soruda ise

a^2 + b^2 = c^2 + \sqrt{3}\,ab

olduğu veriliyor. Karşılaştırırsak:

2ab\cos C = \sqrt{3}\,ab \quad\Longrightarrow\quad \cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Biliriz ki
\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Bu nedenle

m(\widehat{C}) = 30^\circ.

Karşılaştırma Tablosu

Konsept Denkleme Sonuç
Pisagor Teoremi a^2 + b^2 = c^2 C = 90^\circ
Genel Kosinüs Teoremi a^2 + b^2 = c^2 + 2ab\cos C Tüm üçgenler için
Verilen Eşitlik a^2 + b^2 = c^2 + \sqrt{3}\,ab \cos C = \tfrac{\sqrt{3}}{2} ⇒ 30^\circ

Özet Tablosu

Özellik Değer
Kosinüs Teoremi a^2 + b^2 = c^2 + 2ab\cos C
Verilen Eşitlik a^2 + b^2 = c^2 + \sqrt{3}\,ab
Bulunan Cosinüs \cos C = \tfrac{\sqrt{3}}{2}
Sonuç Açı C = 30^\circ

SSS

  1. Kosinüs teoremi nedir?
    Herhangi bir üçgende kenarlar ve karşısındaki açı arasındaki ilişkiyi
    a^2 + b^2 - 2ab\cos C = c^2 formülüyle belirler.

  2. Verilen eşitlik neden kosinüs teoremine dayanır?
    Eşitlikteki ekstra terim \sqrt{3}\,ab, kosinüs teoremindeki
    2ab\cos C ifadesine karşılık gelir.

  3. Cosinüs değerini açıya nasıl dönüştürürüz?
    Bilinen trigonometrik değer tablosundan veya ters kosinüs fonksiyonuyla.

  4. Elde edilen açıya göre üçgenin türü nedir?
    C = 30^\circ olduğunda üçgen keskin (akut) bir açıya sahiptir.

Bu yöntemi kavradınız mı? Bu konuya yönelik 2 ek alıştırma sorusu ister misiniz?
@oguzhan_turker