Cevap:
Soruda verilen ifade:
\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt[6]{x} - \sqrt[8]{x}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[4]{x}}
Bu tür limit sorularında, genellikle iki temel yöntem kullanılır: L’Hospital kuralı veya çarpanlara ayırma. Hangi yöntemin uygulanacağı, verilen ifadenin sıfır bölü sıfır belirsizliği olup olmadığına bağlıdır.
1. Sıfır bölü sıfır belirsizliğini kontrol etme
Verilen ifadelerde x \to 1 limite yaklaşırken:
- \sqrt[n]{x} ifadesini yerine koyduğumuzda, her biri \sqrt[n]{1} = 1 olur.
Bu durumda:
\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt[6]{x} - \sqrt[8]{x}}{\sqrt[3]{x} - \sqrt[4]{x}} = \frac{1 - 1}{1 - 1}
Yani sıfır bölü sıfır belirsizliği ortaya çıkar. Bu nedenle L’Hospital kuralı uygulanabilir.
2. L’Hospital Kuralı Uygulama
L’Hospital kuralına göre, bir limit sıfır bölü sıfır belirsizliği oluşturduğunda, pay ve paydanın türevlerini alarak limit hesaplanır.
Pay ve paydanın türevleri:
- \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} şeklinde yazalım.
- Pay:\frac{d}{dx} (\sqrt[6]{x} - \sqrt[8]{x}) = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} - \frac{1}{8}x^{-\frac{7}{8}}
- Payda:\frac{d}{dx} (\sqrt[3]{x} - \sqrt[4]{x}) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} - \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}
- Pay:
Türevleri yerine koyup limiti hesaplayalım:
\lim_{x\to 1} \frac{\frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} - \frac{1}{8}x^{-\frac{7}{8}}}{\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} - \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}}
x = 1 olduğu durumda üstel ifadelerin etkisi kalkar:
\frac{\frac{1}{6} - \frac{1}{8}}{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}
Yukarıdaki kesirleri sadeleştirelim:
- Pay:
\frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24}
- Payda:
\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}
Nihai oran:
\frac{\frac{1}{24}}{\frac{1}{12}} = \frac{1}{24} \cdot \frac{12}{1} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}
Sonuç ve Doğru Cevap:
Limit değeri: \boxed{\frac{1}{2}}
Doğru seçenek: E
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Belirsizlik Kontrolü | \frac{1-1}{1-1} | 0/0 (Belirsizlik) |
| L’Hospital Türevleri | Pay ve paydanın türev hesaplaması | \frac{\frac{1}{24}}{\frac{1}{12}} |
| Sonuç | \frac{1}{2} | E |