Cevap:
Soruda verilen ifade:
Bu tür limit sorularında, genellikle iki temel yöntem kullanılır: L’Hospital kuralı veya çarpanlara ayırma. Hangi yöntemin uygulanacağı, verilen ifadenin sıfır bölü sıfır belirsizliği olup olmadığına bağlıdır.
1. Sıfır bölü sıfır belirsizliğini kontrol etme
Verilen ifadelerde x \to 1 limite yaklaşırken:
- \sqrt[n]{x} ifadesini yerine koyduğumuzda, her biri \sqrt[n]{1} = 1 olur.
Bu durumda:
Yani sıfır bölü sıfır belirsizliği ortaya çıkar. Bu nedenle L’Hospital kuralı uygulanabilir.
2. L’Hospital Kuralı Uygulama
L’Hospital kuralına göre, bir limit sıfır bölü sıfır belirsizliği oluşturduğunda, pay ve paydanın türevlerini alarak limit hesaplanır.
Pay ve paydanın türevleri:
- \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} şeklinde yazalım.
- Pay:\frac{d}{dx} (\sqrt[6]{x} - \sqrt[8]{x}) = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} - \frac{1}{8}x^{-\frac{7}{8}}
- Payda:\frac{d}{dx} (\sqrt[3]{x} - \sqrt[4]{x}) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} - \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}
- Pay:
Türevleri yerine koyup limiti hesaplayalım:
x = 1 olduğu durumda üstel ifadelerin etkisi kalkar:
Yukarıdaki kesirleri sadeleştirelim:
- Pay:
- Payda:
Nihai oran:
Sonuç ve Doğru Cevap:
Limit değeri: \boxed{\frac{1}{2}}
Doğru seçenek: E
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Belirsizlik Kontrolü | \frac{1-1}{1-1} | 0/0 (Belirsizlik) |
| L’Hospital Türevleri | Pay ve paydanın türev hesaplaması | \frac{\frac{1}{24}}{\frac{1}{12}} |
| Sonuç | \frac{1}{2} | E |
lim (x → 1) [ (x^(1/6) – x^(1/8)) / (x^(1/3) – x^(1/4)) ] ifadesinin değeri kaçtır?
Table of Contents
1. Genel Bakış
Bu limit sorusunda, x → 1 alınırken hem payın hem de paydanın 0’a yaklaştığını görürüz. Bu nedenle ifade 0/0 belirsizliği oluşturarak L’Hôpital Kuralı veya farklı çarpanlara ayırma/seri açılım yöntemlerinin kullanılmasını gerektirir. Aşağıda bu problem için en pratik çözüm, L’Hôpital uygulamasıdır.
2. Temel Terimler
- 0/0 Belirsizliği: Limit hesaplamalarında, hem payın hem paydanın aynı anda 0 olması.
- L’Hôpital Kuralı: 0/0 (veya ∞/∞) belirsizliği durumlarında, limit alınacak fonksiyonların türevlerinin oranını kullanma yöntemidir.
- Binom Serisi / Taylor Serisi: x yakınında (örneğin x = 1 civarında) fonksiyonların yaklaşık açılımlarını kullanmak için kullanılan yöntemler.
3. L’Hôpital Kuralı ile Çözüm
Verilen ifade:
$
\lim_{x \to 1} \frac{x^{\tfrac{1}{6}} - x^{\tfrac{1}{8}}}{x^{\tfrac{1}{3}} - x^{\tfrac{1}{4}}}
$
x=1 noktasında doğrudan değerlendirildiğinde pay = 0 ve payda = 0 olur.
Adım 1: Payın Türevi
Pay = f(x) = x^(1/6) – x^(1/8)
Türevini alalım:
$
f’(x) = \frac{1}{6}x^{\tfrac{1}{6} - 1} ;-; \frac{1}{8}x^{\tfrac{1}{8} - 1}
$
x=1 için:
$
f’(1) = \frac{1}{6}(1)^{-\tfrac{5}{6}} - \frac{1}{8}(1)^{-\tfrac{7}{8}} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24}
$
Adım 2: Paydanın Türevi
Payda = g(x) = x^(1/3) – x^(1/4)
Türevini alalım:
$
g’(x) = \frac{1}{3}x^{\tfrac{1}{3} - 1} ;-; \frac{1}{4}x^{\tfrac{1}{4} - 1}
$
x=1 için:
$
g’(1) = \frac{1}{3}(1)^{-\tfrac{2}{3}} - \frac{1}{4}(1)^{-\tfrac{3}{4}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}
$
Adım 3: L’Hôpital Uygulaması
L’Hôpital Kuralı’na göre limit:
$
\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f’(1)}{g’(1)} = \frac{\tfrac{1}{24}}{\tfrac{1}{12}} = \frac{1}{24} \times \frac{12}{1} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}
$
Dolayısıyla, limit = 1/2.
4. Alternatif Yöntem: Binom Serisi Yaklaşımı
İsteğe bağlı olarak, x ≈ 1 civarında x^{a} ifadesinin yaklaşık açılımı
$
x^{a} \approx 1 + a(x-1)
$
şeklinde değerlendirilebilir. Hem payda hem pay y = x – 1 küçükken (x ≈ 1) incelenirse, sonrasında benzer cebirsel sadeleştirme yapılarak yine 1/2 sonucuna varılır.
5. Adım Adım Derivasyon Özeti Tablosu
Aşağıdaki tablo, kritik türev hesaplamalarını özetler:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Payın Türevi | f'(x) = \tfrac{1}{6}x^{-\tfrac{5}{6}} - \tfrac{1}{8}x^{-\tfrac{7}{8}} | f'(1) = \tfrac{1}{24} |
| 2. Paydanın Türevi | g'(x) = \tfrac{1}{3}x^{-\tfrac{2}{3}} - \tfrac{1}{4}x^{-\tfrac{3}{4}} | g'(1) = \tfrac{1}{12} |
| 3. L’Hôpital | \displaystyle\lim_{x \to 1}\!\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(1)}{g'(1)} | \frac{\tfrac{1}{24}}{\tfrac{1}{12}} = \tfrac{1}{2} |
6. Sonuç ve Özet
Bu limit, 0/0 belirsizliğini en kolay şekilde L’Hôpital Kuralı ile çözebiliriz. Türevlendirme adımlarının sonucunda 1/2 elde edilir. Aynı sonuca seri açılım (ya da çarpanlara ayırma) yöntemleriyle de ulaşmak mümkündür.
- Önemli Noktalar
- Pay ve payda 0/0 belirsizliği oluşturuyor.
- L’Hôpital kullanarak türevlerin oranı hesaplandığında sonuç 1/2 olarak bulunuyor.
- Seri açılım yaklaşımı veya çarpanlara ayırma (sınırlı olsa da) benzer bir mantıkla aynı sonuca götürür.
Dolayısıyla ifadenin limit değeri = 1/2 seçeneğidir (E şıkkı).