(x²-3x)² - 2(x²-3x)-8 ifadesinin çarpanları nelerdir?
(x² - 3x)² - 2(x² - 3x) - 8 ifadesinin çarpanları nelerdir?
Cevap:
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayırmak için adım adım ilerleyelim:
1. İfadeyi yeniden yazma
İfade şöyle:
(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8
Burada, x^2 - 3x ifadesini geçici bir değişken ile temsil edelim:
t = x^2 - 3x
Böylece ifade:
t^2 - 2t - 8
2. İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırma
t^2 - 2t - 8 ifadesi bir ikinci dereceden polinomdur. Çarpanları şöyle bulunur:
- Katsayılar: a=1, b=-2, c=-8
- Diskriminantı hesaplayalım:
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 - Kökler:
t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{2}
Böylece, - t_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4
- t_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2
Polinomun çarpanları:
(t - 4)(t + 2)
3. Yerine eski ifadeyi koyma
(t - 4)(t + 2) = 0 \implies (x^2 - 3x - 4)(x^2 - 3x + 2)
4. Her iki parantezi ayrı ayrı çarpanlara ayırma
İlk parantez: x^2 - 3x - 4
- Sayılar: a=1, b=-3, c=-4
- İki sayıyı bulmalıyız: çarpımları -4, toplamları -3
- Bu sayılar: -4 ve 1
Çarpanlara ayrılmış hali:
(x - 4)(x + 1)
İkinci parantez: x^2 - 3x + 2
- Sayılar: a=1, b=-3, c=2
- İki sayı: çarpımları 2, toplamları -3
- Bu sayılar: -1 ve -2
Çarpanlar:
(x - 1)(x - 2)
5. Sonuç
İfade şöyle olur:
(x - 4)(x + 1)(x - 1)(x - 2)
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Değişken Tanımı | t = x^2 - 3x | İfade t^2 - 2t - 8 oldu |
| 2. İkinci Dereceyi Çözümleme | t^2 - 2t - 8 = (t-4)(t+2) | Kökler t=4 ve t=-2 |
| 3. Eski Değişkeni Yerine Koyma | (x^2 - 3x - 4)(x^2 - 3x + 2) | |
| 4. Her Parçayı Çarpanlama | (x - 4)(x + 1)(x - 1)(x - 2) | İfade tamamen açıldı |
Sonuç:
[
\boxed{
(x - 4)(x + 1)(x - 1)(x - 2)
}
]
İfade bu şekilde tam olarak çarpanlarına ayrılmıştır.
(x²-3x)² - 2(x²-3x)-8 ifadesinin çarpanları nelerdir?
Cevap:
Merhaba @mrbelifcm! Bu soruyu çözmek için, verilen ifadeyi adım adım çarpanlarına ayıralım. Bu tür ifadeler genellikle ikinci dereceden denklemlerin çarpanlarına ayırma yöntemleriyle çözülür. Öncelikle, ifadeyi basitleştirmek için bir değişken değişimi yapacağız, çünkü (x²-3x) ifadesi tekrar ediyor. Bu sayede ifadeyi bir kare denklem haline getirip kolayca çarpanlara ayırabiliriz. Şimdi, her adımı ayrıntılı olarak açıklayalım ve matematiği adım adım çözelim.
Bu cevap, matematik kavramlarını basit ve anlaşılır bir şekilde ele alacak, teknik terimleri tanımlayacak ve örneklerle destekleyecek. Ayrıca, cevabımızı SEO dostu hale getirmek için anahtar kelimeleri doğal bir şekilde kullanacağız (örneğin, “çarpanlara ayırma”, “ikinci dereceden denklem”, “matematik ödevi”).
İçindekiler
1. İfade Analizi ve Temel Kavramlar
Verilen ifade: (x²-3x)² - 2(x²-3x) - 8. Bu, bir polinom ifadesi ve çarpanlara ayırma (factoring) gerektiriyor. Çarpanlara ayırma, bir ifadeyi daha küçük, çarpıldığında aynı sonucu veren ifadelerin ürününe dönüştürme işlemidir. Bu işlem, matematikte denklemleri çözmek, grafikleri çizmek veya kökleri bulmak için sıkça kullanılır.
Temel Terimler
- Polinom (Polynomial): Değişkenleri (burada x) ve sabit sayıları toplayan, çarpan veya çıkararak oluşan ifade. Örneğin, x² - 3x bir polinomdur.
- Çarpanlara Ayırma (Factoring): Bir ifadeyi, çarpıldığında aynı ifadeyi veren daha basit ifadelerin ürününe dönüştürme. Örneğin, x² - 4 = (x-2)(x+2) şeklinde yazılır.
- İkinci Dereceden Denklem (Quadratic Equation): Genellikle ax² + bx + c = 0 şeklinde olan ve en fazla x² terimi içeren denklem. Burada, ifadeyi bir kare denkleme dönüştüreceğiz.
- Değişken Değişimi (Substitution): Karmaşık ifadeleri basitleştirmek için bir değişkenle değiştirme. Bu, ifadeyi daha kolay yönetilebilir hale getirir.
Bu ifade, (x²-3x) kısmının karesel bir yapıda olması nedeniyle bir kare denklemin formuna benziyor. Şimdi, bunu adım adım çözelim.
2. Değişken Değişimi ile Basitleştirme
İfadenin yapısına bakarsak, (x²-3x) ifadesi iki kez geçiyor. Bu, bize bir ipucu veriyor: Bu ifadeyi bir yeni değişkene atayabiliriz. Böylece, ifadeyi daha basit bir forma indirebiliriz.
Adım 1: u = x² - 3x olarak tanımlayalım.
- Bu, ifadeyi basitleştirecek.
- Şimdi, orijinal ifadeyi u cinsinden yazalım:
- Orijinal ifade: (x²-3x)² - 2(x²-3x) - 8
- u ile: u² - 2u - 8
Şimdi, elimizde daha basit bir ifade var: u² - 2u - 8. Bu, standart bir ikinci dereceden denklem (quadratic equation) şeklinde.
3. Kare Denklemin Çarpanlara Ayrılması
u² - 2u - 8 ifadesini çarpanlara ayıralım. Bu, bir kare denklemin çarpanlara ayırma yöntemini kullanırız.
Adım 1: Katsayıları belirleyelim.
- Genel form: au² + bu + c = 0
- Burada, a = 1, b = -2, c = -8.
Adım 2: İki sayıyı bulun ki, bu sayılar c’yi (yani -8’i) çarpınca versin ve b’yi (yani -2’yi) toplayınca versin.
- -8’in çarpanları: 1 ve -8, -1 ve 8, 2 ve -4, -2 ve 4.
- Bunlardan hangisi -2 toplar? -4 ve 2: (-4) * 2 = -8 ve (-4) + 2 = -2.
Adım 3: İfadenin çarpanlara ayrılmış hali:
- u² - 2u - 8 = (u - 4)(u + 2)
Doğrulayalım:
- (u - 4)(u + 2) = u² + 2u - 4u - 8 = u² - 2u - 8. Evet, doğru.
Şimdi, u’yu geri x’e dönüştürme zamanı.
4. Geri Dönüştürme ve Tam Çözüm
u = x² - 3x olduğundan, çarpanları x cinsinden yazalım.
- (u - 4)(u + 2) = (x² - 3x - 4)(x² - 3x + 2)
Bu ifadeyi daha da çarpanlara ayırabilir miyiz? Evet, her bir parantez içindeki ikincil ifadeleri faktorluyoruz.
Adım 1: x² - 3x - 4 ifadesini çarpanlara ayıralım.
- İki sayıyı bulun ki, -4’ü çarpınca versin ve -3’ü toplayınca versin.
- Sayılar: -4 ve 1 (çünkü -4 * 1 = -4 ve -4 + 1 = -3).
- Yani, x² - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1).
Adım 2: x² - 3x + 2 ifadesini çarpanlara ayıralım.
- İki sayıyı bulun ki, 2’yi çarpınca versin ve -3’ü toplayınca versin.
- Sayılar: -1 ve -2 (çünkü -1 * -2 = 2 ve -1 + -2 = -3).
- Yani, x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).
Adım 3: Tam çarpanlar:
- (x² - 3x - 4)(x² - 3x + 2) = (x - 4)(x + 1)(x - 1)(x - 2)
Böylece, orijinal ifadenin tam çarpanları: (x - 4)(x + 1)(x - 1)(x - 2).
5. Doğrulama ve Örnekler
Çözümümüzü doğrulamak için, birkaç x değeriyle test edelim. Bu, çarpanlara ayırmanın doğru olup olmadığını kontrol eder.
Adım 1: x = 0
- Orijinal ifade: (0² - 30)² - 2(0² - 30) - 8 = 0 - 0 - 8 = -8
- Çarpanlar: (0 - 4)(0 + 1)(0 - 1)(0 - 2) = (-4)(1)(-1)(-2) = 8 * -1 = -8 (eşleşiyor).
Adım 2: x = 1
- Orijinal ifade: (1² - 31)² - 2(1² - 31) - 8 = (-2)² - 2(-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0
- Çarpanlar: (1 - 4)(1 + 1)(1 - 1)(1 - 2) = (-3)(2)(0)(-1) = 0 (eşleşiyor).
Adım 3: x = 2
- Orijinal ifade: (4 - 6)² - 2(4 - 6) - 8 = (-2)² - 2(-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0
- Çarpanlar: (2 - 4)(2 + 1)(2 - 1)(2 - 2) = (-2)(3)(1)(0) = 0 (eşleşiyor).
Adım 4: x = 3
- Orijinal ifade: (9 - 9)² - 2(9 - 9) - 8 = 0 - 0 - 8 = -8
- Çarpanlar: (3 - 4)(3 + 1)(3 - 1)(3 - 2) = (-1)(4)(2)(1) = -8 (eşleşiyor).
Doğrulama başarılı. Bu yöntem, çarpanlara ayırmanın güvenilir bir yoludur ve kökleri (sıfır noktalarını) bulmak için kullanılabilir. Örneğin, çarpanlardan sıfır olan x değerleri (x = 1, x = 2, x = 4, x = -1) köklerdir.
6. Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, çözüm sürecini özetlemektedir. Bu, adımları netleştirir ve hızlı referans için kullanışlıdır.
| Adım | Açıklama | Hesaplama veya Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Değişken Tanımlama | u = x² - 3x olarak tanımla | İfade: u² - 2u - 8 |
| 2. Kare Denklemi Faktörle | u² - 2u - 8’i çarpanlara ayır | (u - 4)(u + 2) |
| 3. Geri Dönüştürme | u’yu x’e geri dönüştür | (x² - 3x - 4)(x² - 3x + 2) |
| 4. İkincil Faktörleme | Her bir ifadeyi daha fazla çarpanlara ayır | (x - 4)(x + 1) ve (x - 1)(x - 2) |
| 5. Tam Çarpanlar | Tüm çarpanları birleştir | (x - 4)(x + 1)(x - 1)(x - 2) |
| 6. Doğrulama | Rastgele x değerleriyle test et | x=0, x=1, x=2, x=3 için eşleşme |
7. Sonuç ve Ana Noktalar
Sonuç olarak, (x²-3x)² - 2(x²-3x) - 8 ifadesinin çarpanları (x - 4)(x + 1)(x - 1)(x - 2)'dir. Bu çözüm, değişken değişimi ve kare denklemlerin çarpanlara ayırma yöntemleriyle elde edildi. Bu tür sorular, matematik ödevlerinde sıkça karşılaşılan ve kök bulma veya grafik çizme gibi ileri adımlara temel oluşturan önemli bir konudur. Eğer bu ifadeyi sıfırla eşitler ve kökleri bulmak istersen, çarpanlardan elde ettiğin x değerleri (x = -1, x = 1, x = 2, x = 4) doğrudan cevabı verir.
Bu adımları izleyerek, benzer ifadeleri kendi başına çarpanlara ayırabilirsin. Matematik, pratikle kolaylaşır, bu yüzden başka soruların olursa çekinme, sor! Unutma, öğrenme sürecinde zorlanmak normal, ama adım adım ilerleyerek her şeyi çözebilirsin.
Ana Noktalar:
- Tam Çarpanlar: (x - 4)(x + 1)(x - 1)(x - 2)
- Kökler: x = -1, x = 1, x = 2, x = 4