Dhdd
2x − (a+1)y − 11 = 0 doğrusunun simetriği yine kendisi olduğuna göre, a kaçtır?
• Simetrik bir doğru, yansıtıldığı eksene dik ise kendisi olur.
• 3x + y + 5 = 0 doğrusunun eğimi m_2 = -3 olur.
• 2x − (a+1)y − 11 = 0 doğrusunun eğimi m_1 = \tfrac{2}{\,a+1\,}.
a = 5 olarak bulunur.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- Verilen aynalama ekseni:
3x + y + 5 = 0 ⇒ eğim m_2 = -3 (çünkü y = -3x -5). - İncelenen doğru:
2x − (a+1)y − 11 = 0 ⇒(a+1)y = 2x - 11 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{2}{a+1}x - \frac{11}{a+1}eğim m_1 = \frac{2}{\,a+1\,}. - Bir doğrunun aynaya göre simetriği yine kendisi olduğunda, doğru aynalama eksenine dik olmalıdır.
- Dik olma koşulu:m_1 \cdot m_2 = -1yerlerine yazılırsa\frac{2}{a+1}\;\times\;(-3) = -1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{6}{a+1}=-1\frac{6}{a+1}=1 \quad\Longrightarrow\quad a+1=6 \quad\Longrightarrow\quad a=5.
Özet Tablosu
| Adım | İfade | Sonuç |
|---|---|---|
| Aynalama doğrusunun eğimi | 3x + y + 5 = 0 ⇒ m_2 = -3 | — |
| İncelenen doğrunun eğimi | 2x-(a+1)y-11=0 ⇒ m_1=\frac{2}{a+1} | — |
| Dik olma koşulu | m_1\cdot m_2=-1 | a=5 |
SSS
- Simetri ekseni ile aynı doğru üzerine yansıma olur mu?
– Hayır. Kendine yansıma olması için doğru eksene dik olmalıdır. - Paralel bir doğrunun simetriği ne olur?
– Simetri eksenine paralel başka bir doğrudur, kendisi olmaz. - Noktaların simetriği nasıl bulunur?
– Aynalama doğrusu ile orijinal nokta arasındaki dik uzaklık eşit olacak şekilde yansıtılır.
Pekiştirme için 3 adet benzer yansıtma problemi ister misiniz?
@Ali_Murat
Analitik Düzlemde Doğruların Simetrisi ve a Değerinin Bulunması
Önemli Noktalar
- İki doğru birbirine göre simetrik ise, simetri doğrusu için yansıma işlemi uygulanır
- Simetri doğrusu kendi üzerine simetrik olan doğru merkez çizgisi olur
- Doğruların karşılıklı simetrisinde, simetri dönüşümü koordinatlarda belli dönüşümler uygular
- a değerini bulmak için verilen doğruların denklemleri üzerinden simetri koşulu uygulanır
Bir doğru, analitik düzlemde kendisi üzerine simetrik olacak şekilde başka bir doğrunun simetriği olduğunda, simetri doğrusu iki doğrunun da orta hattı görevi görür.
Problemin Çözümü
Verilenler:
- Doğru 1:
2x - (a+1)y - 11 = 0
- Doğru 2:
3x + y + 5 = 0
İlk doğrunun, ikinci doğruya göre simetrisi yine kendisi ise; bu durumda ikinci doğru, bir yansıma doğrusu olarak, ilk doğrunun simetri doğrusudur.
Adım 1: Simetri Doğrusunu Anlama
Doğru 2, doğu doğrudur (çıktı için referans doğrudur). Doğru 1, ikinci doğruya göre yansıtılıp yine kendisi elde ediliyor.
Bir doğrunun başka bir doğruya göre simetrisi hesaplanırken şu adımlar takip edilir:
- Doğruların normal vektörünü bulun.
- Simetri doğrusu üzerindeki yansıma işlemi, vektörü simetri doğrusuna göre yansıtır.
- Simetrik doğrunun normal vektörü, orijinalin yansımasıdır.
Adım 2: Normal Vektörler ve Yansıma
Doğru’lar cebirsel olarak
Ax + By + C = 0
şeklindedir.
- Doğru 1 normal vektörü:
\mathbf{n_1} = (2, -(a+1))
- Doğru 2 normal vektörü:
\mathbf{n_2} = (3, 1)
Simetri doğrusu, \mathbf{n_2} doğrultusundadır.
Adım 3: Simetri için Vektör Yansıması Formülü
Bir vektörün, doğrultusu \mathbf{u} olan doğruya göre yansıması:
\mathbf{v'} = 2 \cdot \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \mathbf{u} - \mathbf{v}
Burada:
- \mathbf{v} ilk normal vektör (doğru 1)
- \mathbf{u} simetri doğrusunun normal vektörü (doğru 2)
Adım 4: Hesaplama
- \mathbf{v} = (2, -(a+1))
- \mathbf{u} = (3, 1)
İç çarpımlar:
\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = 2 \times 3 + (-(a+1)) \times 1 = 6 - (a+1) = 5 - a
\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10
Yansıma:
\mathbf{v'} = 2 \cdot \frac{5 - a}{10} \cdot (3,1) - (2, -(a+1))
= \frac{5 - a}{5} (3,1) - (2, -(a+1))
İşlemi açalım:
\mathbf{v'} = \left(\frac{3(5 - a)}{5}, \frac{5 - a}{5}\right) - (2, -(a+1))
= \left(\frac{3(5 - a)}{5} - 2, \frac{5 - a}{5} + (a+1)\right)
Adım 5: Kendisi Üzerine Simetri Koşulu
Verilen doğrunun simetrisi yine kendisi ise, yani \mathbf{v'} vektörü \mathbf{v} ile doğru orantılıdır:
\mathbf{v'} = k \mathbf{v}
Yani parantez içindeki vektörler birbirinin skalar katı olmalı.
Adım 6: Denklemlerin Kurulması
Kısaca, iki vektörün birbirinin skalar katı olması için bileşenleri oranlanmalı:
\frac{\frac{3(5 - a)}{5} - 2}{2} = \frac{\frac{5 - a}{5} + a + 1}{-(a+1)} = k
İlk ifade:
\frac{3(5 - a)}{5} - 2 = \frac{15 - 3a}{5} - 2 = \frac{15 - 3a - 10}{5} = \frac{5 - 3a}{5}
Böylece:
\frac{5 - 3a}{5} \div 2 = \frac{5 - 3a}{10}
İkinci ifade:
\frac{5 - a}{5} + a + 1 = \frac{5 - a}{5} + \frac{5a + 5}{5} = \frac{5 - a + 5a + 5}{5} = \frac{10 + 4a}{5}
Buna göre:
\frac{10 + 4a}{5} \div (-(a+1)) = \frac{10 + 4a}{5(-a -1)} = \frac{10 + 4a}{-5(a+1)}
Eşitliği yazalım:
\frac{5 - 3a}{10} = \frac{10 + 4a}{-5(a+1)}
Adım 7: Denklemin Çözümü
Çarpanları giderelim:
(5 - 3a)(-5(a+1)) = 10 (10 + 4a)
-5 (a+1)(5 - 3a) = 100 + 40a
İlk terimi açalım:
-5 (a+1)(5 - 3a) = -5 [5a - 3a^2 + 5 - 3a] = -5 (5 - 3a^2 + 2a)
Dikkat: Parantezi düzgün açmak için:
(a+1)(5 - 3a) = 5a - 3a^2 + 5 -3a = -3a^2 + 2a + 5
Öyleyse:
-5(-3a^2 + 2a + 5) = 100 + 40a
15a^2 - 10a - 25 = 100 + 40a
Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:
15a^2 - 10a - 25 - 100 - 40a = 0
15a^2 - 50a - 125 = 0
Adım 8: Denklemin Sonrası
Hepsini 5’e bölelim:
3a^2 - 10a - 25 = 0
Bu ikinci dereceden denklemi çözelim:
a = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \times 3 \times (-25)}}{2 \times 3}
= \frac{10 \pm \sqrt{100 + 300}}{6}
= \frac{10 \pm \sqrt{400}}{6}
= \frac{10 \pm 20}{6}
İki çözüm:
a_1 = \frac{10 + 20}{6} = \frac{30}{6} = 5
a_2 = \frac{10 - 20}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}
Adım 9: Uygun Çözüm Seçimi
Seçenekler: 1, 2, 3, 4, 5
- a = 5 seçeneklerde var
- a = -5/3 seçeneklerde yok
Cevap: a = 5
Sonuç
a değeri 5’tir. Seçenekler arasında E şıkkı doğrudur.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Normal Vektörler | \mathbf{n_1}=(2,-(a+1)), \mathbf{n_2}=(3,1) | - |
| Yansıma Formülü | \mathbf{v'}=2 \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \mathbf{u} - \mathbf{v} | - |
| Orantı Koşulu | \mathbf{v'}=k \mathbf{v} | Denklem kuruldu |
| Denklemin Sadeleşmesi | 3a^2 - 10a - 25 = 0 | - |
| a’nın Değerleri | 5, -5/3 | a=5 uygun |
Sık Sorulan Sorular
1. Doğru denklemin normal vektörü nasıl bulunur?
Doğru denklemi Ax + By + C = 0 şeklinde ise normal vektörü \mathbf{n} = (A, B) olur.
2. Doğru yansıması neden normal vektörler üzerinde düşünülür?
Çünkü iki doğrunun paralelliği ve yönü, normal vektörlerle ifade edilir; dönüşümlerde normal vektörler üzerinde işlem yapmak denklem sistemini çözer.
3. Simetri dönüşümü nelere bağlıdır?
Simetri doğrusu, yansıma açısı ve koordinat dönüşümüne bağlıdır; özellikle vektörlerin simetri doğrusuna göre yansıması hesaplanır.
Daha fazla analitik geometri sorusu çözmek ister misiniz? Ya da simetri ve yansıma problemlerine örneklerle detaylı bakmamı ister misiniz?