Soru 6: A, B ve C gerçek sayılar olmak üzere aşağıdaki eşitlik veriliyor:
(\sqrt{2}x + \sqrt{3})^2 = A x^2 - B x + C
Buna göre \frac{A \cdot C}{B} ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle verilen ifadeyi açalım:
(\sqrt{2}x + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2}x)^2 + 2 \cdot \sqrt{2}x \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2
= 2x^2 + 2 \cdot \sqrt{6} x + 3
Verilen eşitlikte sağ taraf:
A x^2 - B x + C
Burada dikkat edilmesi gereken, sağ taraftaki x teriminin işaretinin negatif olduğudur.
Soldaki açılımda x terimi pozitif işaretlidir.
Bu durumda:
- A = 2
- -B = 2 \sqrt{6} \implies B = -2 \sqrt{6}
- C = 3
Şimdi istenen ifadeyi hesaplayalım:
\frac{A \cdot C}{B} = \frac{2 \cdot 3}{-2 \sqrt{6}} = \frac{6}{-2 \sqrt{6}} = \frac{6}{-2 \sqrt{6}} = -\frac{3}{\sqrt{6}}
Paydadaki kökü rasyonelleştirelim:
-\frac{3}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = -\frac{3 \sqrt{6}}{6} = -\frac{\sqrt{6}}{2}
Cevap:
\boxed{-\frac{\sqrt{6}}{2}}
Soru 7: Sayı kümeleri ile ilgili verilen önermeler
- Her rasyonel sayının karekökü irrasyoneldir.
- Her doğal sayının çift doğal sayı kuvveti tam sayıdır.
- En az bir tam sayının karesi sıfırdan küçüktür.
a) Önermeleri matematiksel olarak yazıp doğru/yanlış durumlarını belirleyiniz.
b) Önermelerin doğruluk değerlerini yazınız.
Çözüm:
| Önermeler | Matematiksel İfade | Doğru/Yanlış | Açıklama |
|---|---|---|---|
| 1. Her rasyonel sayının karekökü irrasyoneldir. | \forall r \in \mathbb{Q}, \sqrt{r} \in \mathbb{I} | Yanlış | Örneğin, r=4 rasyonel ve \sqrt{4}=2 tam sayıdır, irrasyonel değildir. |
| 2. Her doğal sayının çift doğal sayı kuvveti tam sayıdır. | \forall n \in \mathbb{N}, n^{2k} \in \mathbb{Z}, k \in \mathbb{N} | Doğru | Çünkü çift kuvvet her zaman tam sayıdır. |
| 3. En az bir tam sayının karesi sıfırdan küçüktür. | \exists m \in \mathbb{Z}, m^2 < 0 | Yanlış | Tam sayıların kareleri her zaman sıfır veya pozitif. |
Özet Tablosu:
| Önermeler | Doğruluk Durumu |
|---|---|
| Her rasyonel sayının karekökü irrasyoneldir. | Yanlış |
| Her doğal sayının çift doğal sayı kuvveti tam sayıdır. | Doğru |
| En az bir tam sayının karesi sıfırdan küçüktür. | Yanlış |
Soru 8:
12 birim kareden oluşan bir dikdörtgen karton üzerinde farklı gerçek sayılar yazılmıştır. İrrasyonel sayı yazan karelerin alanları toplamı:
(36a^2 + 24 \sqrt{2} a + 8)
birimkaredir.
Buna göre dikdörtgenin çevre uzunluğunu a cinsinden bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle kartonun alanı 12 birimkaredir.
İrrasyonel sayı yazan karelerin alanları toplamı verilmiş.
Kartondaki her birim kare 1 birimkaredir.
Kartondaki karelerin alanları toplamı 12.
İrrasyonel sayı yazan karelerin alanları toplamı:
S_{\text{irr}} = 36a^2 + 24 \sqrt{2} a + 8
Geri kalan karelerin alanları toplamı:
S_{\text{rasyonel}} = 12 - S_{\text{irr}} = 12 - (36a^2 + 24 \sqrt{2} a + 8) = 4 - 36a^2 - 24 \sqrt{2} a
Kartondaki karelerin alanları toplamı 12 olduğuna göre, dikdörtgenin alanı 12 birimkaredir.
Dikdörtgenin alanı:
\text{Alan} = \text{Kısa Kenar} \times \text{Uzun Kenar} = 12
Dikdörtgenin çevresi:
P = 2 (kısa + uzun)
Kartondaki karelerin düzenine bakarak kısa ve uzun kenarları bulmamız gerekiyor.
12 birim kare, örneğin 3 x 4 veya 2 x 6 olabilir.
Kartondaki karelerin alanları 1 birimkare olduğuna göre, kenar uzunlukları 3 ve 4 birim olabilir.
Ancak soruda çevre uzunluğu a cinsinden istenmiş.
İrrasyonel sayı yazan karelerin alanları toplamı S_{\text{irr}} verilmiş.
Bu toplamın karekökü, yani toplam alanın karekökü, dikdörtgenin bir kenar uzunluğuna karşılık gelebilir.
Fakat sorunun tam çözümü için karelerin alanlarının toplamından kenar uzunluklarını bulmak gerekir.
Soru 9:
a,b \in \mathbb{Z}^+ ve m \in \mathbb{R} olmak üzere aşağıdaki çarpma tablosu veriliyor:
| a | b | |
|---|---|---|
| a | 8m - 3 | |
| b | 3m + 7 |
Buna göre (a - b)^2 ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
Tablodan verilen çarpımlar:
- a \times b = 8m - 3
- b \times a = 3m + 7
Çarpma işlemi genellikle değişme özelliğine sahiptir, yani a \times b = b \times a.
Burada eşit olmadığını görüyoruz, bu nedenle farklı bir işlem olabilir veya verilen tabloda farklı bir anlam olabilir.
Ancak soruda a,b pozitif tam sayılar, m gerçek sayı olarak verilmiş.
Eğer a \times b = 8m - 3 ve b \times a = 3m + 7 ise, bu iki ifade eşit olmalıdır:
8m - 3 = 3m + 7
Buradan m'yi bulalım:
8m - 3 = 3m + 7 \implies 8m - 3m = 7 + 3 \implies 5m = 10 \implies m = 2
Şimdi m=2 iken:
a \times b = 8 \times 2 - 3 = 16 - 3 = 13
b \times a = 3 \times 2 + 7 = 6 + 7 = 13
Yani a \times b = 13.
a ve b pozitif tam sayılar olduğuna göre, a \times b = 13.
13 asal sayı olduğundan, a=1, b=13 veya a=13, b=1 olabilir.
Şimdi (a - b)^2 ifadesini hesaplayalım.
İki durum var:
- a=1, b=13 ise:
(a - b)^2 = (1 - 13)^2 = (-12)^2 = 144
- a=13, b=1 ise:
(a - b)^2 = (13 - 1)^2 = 12^2 = 144
Her iki durumda da sonuç aynıdır.
Sonuç:
\boxed{144}
Özet Tablosu
| Soru No | İstenen | Sonuç |
|---|---|---|
| 6 | \frac{A \cdot C}{B} | -\frac{\sqrt{6}}{2} |
| 7a | Önermelerin matematiksel ifadesi ve doğrulukları | Yukarıdaki tablo |
| 7b | Önermelerin doğruluk değerleri | Doğru/Yanlış olarak belirtildi |
| 8 | Dikdörtgenin çevre uzunluğu a cinsinden | Sorunun tam çözümü için ek bilgi gerekebilir |
| 9 | (a - b)^2 ifadesi | 144 |
Eğer 8. sorunun detaylı çözümünü isterseniz, lütfen belirtiniz.
@Berin.__
Question:
Aşağıda her bir birim karesinde farklı bir gerçek sayı yazılan, 12 birim kareden oluşan dikdörtgen biçiminde bir karton verilmiştir.
(Resimde görülen 3×4 lük ızgarada sırasıyla)
- satır: \tfrac14,\;\sqrt[3]{27},\;5^{-2},\;-\tfrac{20}{7}
- satır: 1{,}3,\;-5,\;\sqrt6,\;\sqrt{10}-1
- satır: \sqrt3,\;\tfrac54,\;23,\;2\pi
Bu karton üzerinde irrasyonel sayı yazan karelerin alanları toplamının
$$36a^2 + 24\sqrt2,a + 8$$
birimkareye eşit olduğu verilmiştir. Buna göre dikdörtgenin çevre uzunluğunu a cinsinden bulunuz.
Cevap:
İçindekiler
- İrrasyonel Sayıların Tespiti
- Alanlar Toplamının Hesaplanması
- Verilen İfade ile Alanlar Toplamının Eşitlenmesi
- Dikdörtgen Boyutlarının Belirlenmesi
- Çevre Uzunluğunun Hesaplanması
- Özet Tablo
1. İrrasyonel Sayıların Tespiti
Önce 12 sayı arasından irrasyonel (ondalık yazılımı kesirli ve kesirli kök yapısında) olanları belirleyelim:
- \sqrt6
- \sqrt{10}-1
- \sqrt3
- 2\pi
Geriye kalan 8 sayı ise rasyoneldir.
İrrasyonel kare sayısı: 4
2. Alanlar Toplamının Hesaplanması
Soruda “irrasyonel sayı yazan karelerin alanları toplamı” deniyor.
Her bir birim kare geometrik olarak alanı 1 birim² olan birim karedir.
Dolayısıyla irrasyonel sayı yazan her bir birim karenin alanı 1’dir.
Buna göre alanlar toplamı
$$\underbrace{1 + 1 + 1 + 1}_{\text{4 tane irr. kare}} ;=; 4\quad\text{birimkare}.$$
3. Verilen İfade ile Alanlar Toplamının Eşitlenmesi
Soruda bu toplamın aynı zamanda
$$36a^2 + 24\sqrt2,a + 8$$
olduğu söyleniyor. Yani
Bu denklemi çözelim:
-
Denklemi sadeleştir:
36a^2 + 24\sqrt2\,a + 8 \;=\; 4 \\[6pt] 36a^2 + 24\sqrt2\,a + 8 - 4 \;=\; 0 \\[4pt] 36a^2 + 24\sqrt2\,a + 4 \;=\; 0 -
\,4\, ile bölerek sadeleştir:
9a^2 + 6\sqrt2\,a + 1 \;=\; 0 -
İkinci dereceden denklemin kökleri:
a \;=\;\frac{-6\sqrt2 \pm \sqrt{(6\sqrt2)^2 - 4\cdot9\cdot1}}{2\cdot9} \;=\;\frac{-6\sqrt2 \pm \sqrt{72 -36}}{18} \;=\;\frac{-6\sqrt2 \pm 6}{18}.Böylece
a_1 \;=\;\frac{6 -6\sqrt2}{18} \;=\;\frac{1-\sqrt2}{3}, \quad a_2 \;=\;\frac{-6 -6\sqrt2}{18} \;=\;-\frac{1+\sqrt2}{3}.
Genellikle a pozitif seçilmez; ama çevre uzunluğu sonucunda $a$’ya bağlı ifademiz değişmeyecek.
4. Dikdörtgen Boyutlarının Belirlenmesi
Kartondaki düzen 3 satır × 4 sütun şeklindedir.
- Birim kare kenar uzunluğu 1 birim.
- Yatayda 4 kare → toplam genişlik =4\cdot1=4.
- Dikeyde 3 kare → toplam yükseklik =3\cdot1=3.
5. Çevre Uzunluğunun Hesaplanması
Dikdörtgenin çevresi
Çevre uzunluğu 14 birimdir ve $a$’dan bağımsızdır.
6. Özet Tablo
| Adım | Sonuç |
|---|---|
| İrrasyonel kare sayısı | 4 |
| Alanlar toplamı (birimkare) | 1+1+1+1=4 |
| Verilen ifade ile denklem | 36a^2+24\sqrt2\,a+8=4 |
| a çözümleri | a=\tfrac{1-\sqrt2}3,\;-\tfrac{1+\sqrt2}3 |
| Karton boyutları | 4×3 birim |
| Çevre uzunluğu | P=2(4+3)=14 birim |
Cevap: Dikdörtgenin çevre uzunluğu 14 birimdir.