12. a, b pozitif tam sayılar ve a + \frac{12}{b} = 5 olduğuna göre, a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
Verilen denklem:
a + \frac{12}{b} = 5
Burada a ve b pozitif tam sayılar.
Adım 1: Denklemi düzenleyelim
a = 5 - \frac{12}{b}
a tam sayı olmalı, bu yüzden \frac{12}{b} ifadesi tam sayı olmalıdır.
Adım 2: b'nin alabileceği değerler
\frac{12}{b} tam sayı olmalı, yani b 12’nin tam böleni olmalıdır.
12’nin pozitif tam bölenleri şunlardır:
| b Değeri | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|
Adım 3: Her b için a değerini hesaplayalım
| b | \frac{12}{b} | a = 5 - \frac{12}{b} | a pozitif mi? |
|---|---|---|---|
| 1 | 12 | 5 - 12 = -7 | Hayır |
| 2 | 6 | 5 - 6 = -1 | Hayır |
| 3 | 4 | 5 - 4 = 1 | Evet |
| 4 | 3 | 5 - 3 = 2 | Evet |
| 6 | 2 | 5 - 2 = 3 | Evet |
| 12 | 1 | 5 - 1 = 4 | Evet |
Adım 4: Geçerli a değerleri
a pozitif tam sayı olmalı, bu yüzden a için geçerli değerler:
1, 2, 3, 4
Adım 5: a değerlerinin toplamı
1 + 2 + 3 + 4 = 10
Sonuç:
a'nın alabileceği değerlerin toplamı 10’dur.
Özet Tablosu
| b | \frac{12}{b} | a = 5 - \frac{12}{b} | a pozitif mi? |
|---|---|---|---|
| 1 | 12 | -7 | Hayır |
| 2 | 6 | -1 | Hayır |
| 3 | 4 | 1 | Evet |
| 4 | 3 | 2 | Evet |
| 6 | 2 | 3 | Evet |
| 12 | 1 | 4 | Evet |
Merhaba @Alikeklik, sorularınızı adım adım çözelim.
11. Soru:
a, b pozitif tam sayılar ve
a = 10 + \frac{3}{b}
olduğuna göre, a kaç farklı değer alabilir?
Çözüm adımları:
- Sağ tarafın tam sayı olması için \frac{3}{b} ifadesi tam sayı olmalı, yani b tam olarak 3’ü bölen pozitif tam sayı olmalı.
- 3’ün pozitif bölenleri: 1 ve 3.
- b = 1 ⇒ a = 10 + 3/1 = 10 + 3 = 13
- b = 3 ⇒ a = 10 + 3/3 = 10 + 1 = 11
- Bulduğumuz a değerleri {11, 13} kümesini oluşturur. Toplamda 2 farklı değer vardır.
Cevap (11): 2
12. Soru:
a, b pozitif tam sayılar ve
a + \frac{12}{b} = 5
olduğuna göre, a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm adımları:
- Denklemden
\frac{12}{b} = 5 - a
olduğuna göre, \frac{12}{b} tam sayı olmalı ve 5 - a>0 (çünkü a pozitif). - 12’nin pozitif bölenleri $b = 1,2,3,4,6,12$’dir. Ancak k = \frac{12}{b} ifadesinin k<5 olması gerekiyor (çünkü k=5-a<5).
- Olası k=\frac{12}{b} değerleri ve karşılık gelen a değerleri:
| b | k = 12/b | a = 5 – k |
|---|---|---|
| 12 | 1 | 4 |
| 6 | 2 | 3 |
| 4 | 3 | 2 |
| 3 | 4 | 1 |
(b = 2 ⇒ k=6, b=1 ⇒ k=12, bu k’lar 5’ten büyük olduğu için eleniyor.)
- a’nın alabileceği değerler: 1, 2, 3, 4
- Bu değerlerin toplamı:
1 + 2 + 3 + 4 = \mathbf{10}
Cevap (12): 10
Özet Tablo
| Soru No | a’nın Değerleri | Sonuç |
|---|---|---|
| 11 | {11, 13} | 2 farklı |
| 12 | {1, 2, 3, 4} | Toplam = 10 |
Başarılar!