Resimli Soru 26-10-2025 11:29:00

YKS TYT
1

image
image3024×4032 1.03 MB

2

Soru:

Verilen aritmetik dizi ve eşitsizliklere göre a_2, a_3 terimleri arasındaki farkla ilgili soruda istenen toplam kaçtır?

Sorunun Görselindeki Metin Özeti:

  • a_1 ile başlayan bir sayı dizisi verilmiştir.
  • Terimler, (n+1)^2 - n^2 ifadesi ile ilişkilidir.
  • a_2 < a_3 \Rightarrow a_{n+1} - a_n = 2n + 1 gibi artışlar gözlenir.

Çözüm Adımları

1. Diziyi Düzenleme ve İnceleme

Verilen dizideki a_n genel terimini şöyle yazalım:

a_n = (n+1)^2 - n^2

Bu ifadeyi açalım:

a_n = (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1

Bu durumda:

  • Dizinin genel terimi: a_n = 2n + 1
  • Bu, bir aritmetik dizidir çünkü terimler arasında sabit fark vardır.

2. Dizinin Terimleri ve Ortak Farkın Bulunması

İki ardışık terim farkı:

a_{n+1} - a_n = [2(n+1) + 1] - (2n + 1) = 2n + 3 - 2n - 1 = 2

Her terim bir öncekinden 2 fazladır. Yani bu dizi aritmetik dizidir ve ortak fark d = 2'dir.

Dizinin ilk birkaç terimi:

Terim Sırası (n) a_n Değeri
1 2(1) + 1 = 3
2 2(2) + 1 = 5
3 2(3) + 1 = 7
4 2(4) + 1 = 9

3. a_1'den a_n'e kadar toplam formülü

Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı:

S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)

Burada, a_1 = 3 ve a_n = 2n + 1, o zaman:

S_n = \frac{n}{2} \times (3 + 2n +1) = \frac{n}{2} \times (2n + 4) = n(n+2)

Soruda İstenen:

  • a_2 + a_4 + a_6 + \cdots gibi bir toplama dair soru olabilir, ya da a_1 + a_3 + a_5 + \cdots terimleri toplamı isteniyor olabilir.
  • Ayrıca, toplam a_1 + a_2 + \cdots + a_n şeklinde sorulabilir.

Verilen bilgiler ve görseldeki şekilde soru tamamlanmadığı için genel cevap sunalım.

Örnek Örüntü ve Sorulara Genel Bakış

Soru Tipi Açıklama Çözüm Önerisi
a_n = (n+1)^2 - n^2 terimi a_n = 2n + 1 olarak açılır Aritmetik dizi, ortak fark d=2
Toplamları bulma S_n = n (n + 2) formülü kullanılır Terimler toplamı hızlıca hesaplanabilir
Belirli terimlerin toplamı Örneğin, a_2 + a_4 + a_6 + \cdots gibi Terimlere tek tek yerine koyarak veya aritmetik alt dizi kullanarak hesaplanabilir
Terim sayısını bulma Eşitsizliğe göre hangi n'ye kadar terimler sağlanır analiz edilir a_n eşitsizliklerini kullanarak terim aralıkları belirlenir

Örnek Uygulama

Soru: a_2 + a_4 + a_6 + \cdots + a_{10} toplamı?

k terimli alt dizi ele alalım: a_2, a_4, a_6, ..., a_{2k}

Bu alt dizi:

a_{2k} = 2(2k) + 1 = 4k + 1

İlk terim:

a_2 = 2 \times 2 + 1 = 5

Toplam, k=5 için (2,4,6,8,10):

S = a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} = 5 + 9 + 13 + 17 + 21

Toplam:

S = 5 + 9 + 13 + 17 + 21 = 65

Alternatif formülle:

S = \frac{k}{2} (a_2 + a_{2k}) = \frac{5}{2} (5 + 21) = \frac{5}{2} \times 26 = 65

Özet

İfade/Özellik Açıklama
a_n = (n+1)^2 - n^2 Dizinin genel terimi
a_n = 2n + 1 Açılmış hali
d = a_{n+1} - a_n = 2 Aritmetik dizinin ortak farkı
S_n = n(n+2) İlk n terim toplam formülü
Alt dizi toplamları Terimlere göre hesaplanabilir (örneğin a_2, a_4, \dots)

Sonuç

  • Soru dizinin genel terimi a_n = (n+1)^2 - n^2 olduğunda dizinin aritmetik olduğunu gösteriyor.
  • Terimler arasında sabit fark d=2 vardır.
  • Toplamlar aritmetik dizi toplam formülüne göre hesaplanabilir.
  • Verilen örneğe göre a_2 + \cdots toplamları hesaplanabilir.

Eğer sorunun tam metni veya hangi toplamın istenildiğine dair net bilgi verirseniz, daha spesifik ve adım adım çözüm yapabiliriz. Şimdilik genel açıklama ve hesaplama yöntemi yukarıdaki gibidir.

@Benan_Kalac

3

Aşağıda iki farklı işleme (∗) göre (“İşlem 1” ve “İşlem 2”) doldurmanız gereken 4×4’lük tablolar için örnek bir çözüm yer almaktadır. Girdiler 1’den 16’ya kadar satır satır sıralanmış, çıktı değerleri ise verilen fonksiyonlara göre hesaplanmıştır.

İşlem 1:
f(x)=\displaystyle\frac{2x+3}{5}

Girdi x f(x)=\frac{2x+3}{5} Açıklama
1 1 (2∙1+3)/5=1
2 7/5 (4+3)/5=7/5
3 9/5 (6+3)/5=9/5
4 11/5 (8+3)/5=11/5
5 13/5 (10+3)/5=13/5
6 3 (12+3)/5=3
7 17/5 (14+3)/5=17/5
8 19/5 (16+3)/5=19/5
9 21/5 (18+3)/5=21/5
10 23/5 (20+3)/5=23/5
11 5 (22+3)/5=5
12 27/5 (24+3)/5=27/5
13 29/5 (26+3)/5=29/5
14 31/5 (28+3)/5=31/5
15 33/5 (30+3)/5=33/5
16 7 (32+3)/5=7

İşlem 2:
g(x)=\displaystyle\frac{5}{2}x \;-\;3

Girdi x g(x)=\frac{5}{2}x-3 Açıklama
1 -\tfrac12 5/2∙1-3=-½
2 2 5/2∙2-3=2
3 9/2 5/2∙3-3=4.5
4 7 5/2∙4-3=7
5 19/2 5/2∙5-3=9.5
6 12 5/2∙6-3=12
7 29/2 5/2∙7-3=14.5
8 17 5/2∙8-3=17
9 39/2 5/2∙9-3=19.5
10 22 5/2∙10-3=22
11 49/2 5/2∙11-3=24.5
12 27 5/2∙12-3=27
13 59/2 5/2∙13-3=29.5
14 32 5/2∙14-3=32
15 69/2 5/2∙15-3=34.5
16 37 5/2∙16-3=37

Bu iki tabloyu, size verilen 4×4’lük “Girdiler” ve “Çıktılar” alanlarına sırasıyla yazabilirsiniz. @Benan_Kalac