Soru:
Yukarıda sabit hızla gidip sabit yakıt tüketen bir aracın yakıt doluluk durumu veriliyor. Araç sahibi deposundaki yakıtın beşte ikisini harcadıktan sonra deposunu tam doldurup bir miktar daha yol gidince ibrenin ilk durumla aynı olduğu ve aracın toplam 600 km yol aldığı görülüyor.
Buna göre, araç başlangıçtan itibaren hiç yakıt almasa yakıtı tükenene kadar kaç km yol giderdi?
A) 750
B) 800
C) 900
D) 950
E) 1000
Çözüm:
Problemde verilen bilgilere göre:
- Araç sabit hızla gidiyor.
- Yakıt tüketimi sabit.
- Araç deposundaki yakıtın başlangıç durumunu tam dolu olarak düşünelim. Toplam yakıt kapasitesini X km yol gidilebilecek kadar yakıt olarak tanımlayalım.
- İlk durumdaki ibre gösterimi yakıt doluluğuna karşılık geliyor.
- İlk durumdaki ibre tam dolu: yakıt X km yol için yeterli.
- Depodaki yakıtın 5’te 2’si harcanmış: harcanan yakıt \frac{2}{5}X kilometrelik.
- Kalan yakıt: X - \frac{2}{5}X = \frac{3}{5}X.
- Bu miktar harcanmadan depoya benzin ekleniyor, yani depo tam dolu oluyor yine, yani yakıt miktarı X km yol gidebilecek hale geliyor.
- Daha sonra araç ek yakıtla - tam dolu durumda - 600 km yol gidiyor.
İlk ibre ile son ibrenin aynı olduğu ifade edilmiş ki bu, yakıt doluluk göstergesinin aynı pozisyonda olduğu anlamına gelir.
Yani:
- İlk durumda depo tam dolu, ibre başlangıç konumunda.
- Aracın ilk etapta harcadığı yakıt miktarı: \frac{2}{5}X kilometrelik yol.
- Depo tekrar doldurulunca yakıt tam dolu oluyor: yine X km yol gidilebilir.
- Sonra 600 km yol gidiliyor.
- Son durumda ibre tekrar ilk durum ile aynı. Bu, depo doluluk oranının tekrar tam dolu olduğu anlamına gelir.
Ama problemde “ibrenin ilk durumla aynı olduğu” deniyor, yani depo doluluk oranı tekrar aynı olmuş. Bu durumda:
- Başlangıçta; depo dolu: X km.
- İlk kısımda \frac{2}{5}X km harcanıyor. Kalan yakıt \frac{3}{5}X.
- Depoyu tekrar dolduruyoruz yani yakıt X km gider olacak.
- 600 km yol gidiyor, toplam yol:
Ama problemde toplam yolun 600 km olduğu yazıyor ve ibrenin start durumu ile aynı olduğu belirtiliyor. Bu açıklama çelişkili görünüyor. Fakat sorunun fotoğrafına göre, kullanılan metot şu:
İlk olarak araç X/5 km yol geldiğinde, ibrenin gösterdiği gösterge bir önceki göstergenin tamamlanmış kısmına eşit olacak.
Fotoğrafta çözüm önerisi olarak notlar var. Onlardan yola çıkarak yorumlayalım.
Problem Çözüm Adımları
- Araç başlangıçta depo tam dolu, yakıt ile x km yol gidebileceği varsayılıyor.
- Araç önce yakıtının \frac{2}{5}'ini harcıyor, bu da \frac{2}{5}x km yol yapması demek.
- Ardından depo tekrar tamamen doluyor.
- Sonra aracın ibresi ilk durumdaki ile aynı pozisyona geliyor (yani yine başlangıçtakine eşit doluluk) ve toplam gidilen mesafe 600 km oluyor.
Bu durum, aracın harcadığı ve aldığı yakıtların toplam mesafesiyle ilgili bir denklem kurmayı sağlar.
Varsayımlar:
- Harcanan yakıt ilk etapta: \frac{2}{5}x km
- Depo doldurulan yakıt miktarı: x - \frac{3}{5}x = \frac{2}{5}x km (tüketilen yakıt kadar)
- Depo dolu olduğu için bu yakıtla x km yol gidebilir. Ancak 600 km yol gidildiği söyleniyor.
Toplam gidilen yol:
[
\frac{2}{5}x + 600 = 600
]
Ama 600 km toplam yol değil, 600 km “depoyu doldurduktan sonra gidilen yol” diye yorumlamak mantıklı.
Bazı notlara göre hesaplamalar:
Eğer depo tam dolu olduğunda araç x km yol giderse, yakıt tüketim oranı sabittir.
Araç ilk olarak \frac{2}{5} x km gider sonra deposunu x km yetecek kadar doldurur.
Toplam yol ise:
[
yol = \frac{2}{5} x + 600
]
Problemde, ibrenin başlangıçtakiyle aynı duruma geldiği ifade edilmiş, yani bu noktada yakıt x km yeterli (tam dolu).
Yani, aracın tekrar tam dolu yakıta sahip olduğu için, bu:
[
x = \text{Depodaki tam yakıt menzili}
]
Ve bu durumda:
[
600 + \frac{2}{5} x = x
]
Buradan:
[
600 = x - \frac{2}{5} x = \frac{3}{5} x
]
[
x = \frac{600 \times 5}{3} = 1000
]
Sonuç:
Araç yakıtı hiç almadan ne kadar yol giderse:
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Toplam yol ölçütü | İlk yol + sonradan yol | \frac{2}{5}x + 600 = x |
| Denklemin çözümü | 600 = \frac{3}{5}x | x = 1000 |
| Depo kapasitesi (km) | Yakıt yeteceği yol mesafesi | 1000 km |
Cevap: E) 1000
Cevap 900 gorunuyor